§ 2. Достаточные условия монотонности и экстремума функции на промежутке

Теорема 1 (Достаточное и необходимое условие монотонности). Для того, чтобы дифференцируемая на интервале функция не убывала (не возрастала) на нем, необходимо и достаточно, чтобы

Доказательство. 1) Пусть, например, Возьмем произвольные точки К отрезку применим теорему Лагранжа: : . Так как , то , что и означает не убывание функции на интервале .

Случай рассматривается аналогично.

2. Пусть теперь функция дифференцируема и не убывает на интервале . Предположим, что : . Так как , то по , или , в частности . Отсюда при получим , а при получим . Таким образом, функция убывает в , что противоречит условию. Следовательно,

Так же, как в случае 1), доказывается

Теорема 2 (Достаточное условие строгой монотонности). Если , то функция возрастает (убывает) на интервале

Вставка 1.

Теорема 3 (1-е достаточное условие локального экстремума). Пусть - критическая точка непрерывной в и дифференцируемой в функции . Тогда, если функция меняет знак при переходе через точку ,то - точка локального экстремума функции , а именно: если меняет знак с "–" на "+", то - точка локального минимума; если меняет знак с "+" на "–" , то - точка локального максимума.

Доказательство. Пусть, например, меняет знак с "–" на "+", тогда по предыдущей теореме функция убывает слева от точки и возрастает справа от нее. А это и означает, что является точкой локального минимума.

Вставка 2.

Теорема 4 (2-е достаточное условие локального экстремума). Пусть функция дифференцируема в интервале , , и . Тогда:

а) если , то - точка локального минимума функции ;

б) если , то - точка локального максимума функции .

Доказательство. Пусть , т.е. . Тогда такая, что .

Если теперь , то и потому ; если же , то . А так как , то при переходе через точку производная функции меняет знак с "–" на "+", т.е. - точка локального минимума функции .

Аналогично рассматривается случай .

Вставка 3.

Рассмотрим вопрос о нахождении наибольшего и наименьшего значений непрерывной на отрезке функции.

По теореме Вейерштрасса такие значения существуют и достигаются на нем. Если, например, наибольшее значение реализуется во внутренней точке отрезка, то это необходимо есть точка локального экстремума (максимума). Поэтому для нахождения наибольшего и наименьшего значений непрерывной на отрезке функции находят ее критические точки на данном отрезке, вычисляют в них значения функции (не обязательно выясняя наличие экстремума) , добавляют к ним значения функции в концах отрезка и выбирают из них наибольшее и наименьшее.

.

Билет № 10

1. Последовательности и предельные точки.

2. Выпуклость, точки перегиба и асимптоты графика функции.