§ 4. Признаки существования пределов.

Теорема 1 (см. упр. 5, § 2). Функция f имеет предел в точке х₀ тогда и только тогда, когда в этой точке существуют равные односторонние пределы. ( , а  R.)

Доказательство проведем по Коши и конечного х₀. Случай х₀ =  () рассматривается аналогично.

1) Пусть , т.е  > 0  = () > 0: x  D_f, 0 < |x – x₀| <   |f(x) – a| < .

Это означает, что последнее неравенство имеет место x  D_f, удовлетворяющих неравенствам x₀ -  < х < x₀ и x₀ < х < x₀ + , откуда следует, что  f(x₀ ) = а.

2) Пусть  f(x₀ ) = а. Из существования f(x₀ -) следует, что  > 0 ₁ = ₁() > 0: x  D_f , x₀ - ₁ < х < x₀,  |f(x) – a| < .

Аналогично, из существования f(x₀ +) следует, что для того же  > 0 ₂ = ₂() > 0: x  D_f , x₀ < х < x₀ + ₂,  |f(x) – a| < .

Пусть  = min{₁, ₂}. Тогда получим, что x  D_f, 0 < |x – x₀| <   |f(x) – a| < , т.е.  .

Вставка 1.

Теорема 2 (предел сложной функции). Пусть  и  , причем для некоторого  > 0 . Тогда  .

Доказательство проведем по Гейне.

Из условия следует, что в определена сложная функция . Пусть {x_n}  , причем . Положим y_n = f(x_n). Так как , то и y_n  а. Поэтому из условия существования получим, что существует .

Вставка 2.

Лемма. Для того, чтобы  , необходимо и достаточно, чтобы f(x) = a + (x), где  - б/ м функция при х  х₀.

Доказательство. Действительно, если , то полагая f(x) - a = (x), по свойствам пределов получим, что , т.е.  - б/ м функция при х  х₀.

Обратно, если f(x) = a + (x) и , то по свойствам пределов будем иметь .

Вставка 3.

Теорема 3 (о пределе зажатой функции). Пусть выполнено (х)  f(x)  g(x), причем . Тогда  .

Доказательство сразу следует из теоремы о зажатой последовательности и определения предела функции в точке по Гейне.

Вставка 4.

Определение 1. .

Если функция f ограничена сверху на множестве Е, то согласно теореме 1 (§ 3, гл I) 

. Аналогично, для ограниченной снизу на множестве Е функции f  .

Вставка 5.

Определение 2. Пусть E  D_f и х₁, х₂  Е, x₁ < x₂, - произвольные. Функция f называется:

возрастающей на Е, если f(х₁) < f(x₂);

невозрастающей на Е, если f(х₁)  f(x₂);

убывающей на Е, если f(х₁) > f(x₂);

неубывающей на Е, если f(х₁)  f(x₂).

Все эти функции называются монотонными на множестве E, возрастающая и убывающая – еще строго монотонными на Е.

Теорема 4 (предел монотонной функции). Если функция f не убывает на интервале (a, b) (конечном или бесконечном), то существуют (конечные или бесконечные) пределы f(а+) и f(b-), причем f(а+) = , f(b-) = .

Если функция f не возрастает на интервале (a, b), то f(а+) = , f(b-) = .

Доказательство. Рассмотрим, например, предел f(b-) для неубывающей функции.

Положим М = . Если М  R, то по определению точной верхней грани  > 0 x_ (a, b): M -  < f(x_)  M < M + , а это и означает, что  f(b-) = М.

Пусть М = +. Тогда  > 0 x_ (a, b): f(x_) > . Но тогда f(x) >  х  [x_; b), т.е. f(b-) = +.

Аналогично рассматриваются остальные случаи.

Следствие. Монотонная на интервале (a, b) функция имеет конечные односторонние пределы в каждой точке этого интервала.

Доказательство. Пусть, например, функция f не убывает на (a, b) и (a, b). Пусть х₁ (a, х₀), х₂  (х_0, b). Тогда

,

что и означает конечность пределов f(х₀).

Вставка 6.

Определение 3. Говорят, что функция f удовлетворяет условию Коши при х  х₀, если  > 0  = () > 0: x₁, x₂   |f(x₁) – f(x₂)| < .

Теорема 5 (критерий Коши). Для того, чтобы функция f имела конечный предел в точке х₀, необходимо и достаточно, чтобы она удовлетворяла условию Коши при х  х₀.

Доказательство. 1) Необходимость. Пусть , т.е.  > 0  = () > 0: x   |f(x) –a| < /2.

Пусть теперь x₁, x₂  . Тогда получим

|f(x₁) – f(x₂)|  |f(x₁) – а| + | f(x₂) – a| < /2.+ /2 = ,

т.е. имеет место условие Коши.

2) Достаточность. Пусть функция f удовлетворяет условию Коши при х  х₀ и пусть для выбранного  > 0 указано > 0. Рассмотрим последовательность {x_n}  D_f\{x₀}, сходящуюся к x₀. Тогда n₀: k, m > n₀  x_k, x_m  , а потому |f(x_k) – f(x_m)| < , т.е. последовательность {f(x_n)}- фундаментальная, она сходится.

Покажем, что не зависит от выбора последовательности {x_n}. Возьмем еще одну последовательность  D_f\{x₀}, сходящуюся к x₀, и образуем последовательность по правилу

(l  N).

Ясно, что и по доказанному последовательность сходится, а потому ее подпоследовательности и сходятся к тому же пределу, т.е.

.

А так как не зависит от выбора последовательности {x_n}, то .

Заметим, что критерий Коши не дает численного значения предела функции в точке и потому имеет, в основном, теоретическое применение.