§ 1. Теоремы о среднем

Определение 1. Точка называется точкой (локального) максимума (минимума) функции , если . Точки локального максимума и минимума называются точками (локального) экстремума (рис. 1).

Рис. 1

Теорема 1 (Ферма). Если функция дифференцируема в точке и имеет в этой точке локальный экстремум, то .

Доказательство. Пусть для определенности функция имеет в точке максимум, т.е. . Отсюда для имеем , если , и , если .

Так как функция дифференцируема в точке , то это означает, что , . Следовательно, .

а) б)

Рис. 2

Замечание. Условия теоремы Ферма только достаточные. Так для функции , но экстремума в точке нет (рис. 2а). С другой стороны, функция имеет локальный минимум в точке , но не существует (рис. 2б).

Поэтому в дальнейшем будем называть точки из стационарными, или критическими для функции , если либо в них , либо не существует.

Теорема 2 (Ролль). Пусть функция непрерывна на отрезке . Если , то в интервале найдется, по крайней мере, одна точка локального экстремума (рис. 3). Если, кроме того, функция f дифференцируема в интервале (a b), то

Доказательство. По теореме Вейерштрасса (гл. IY, § 2) функция достигает на отрезке своих точных верхней и нижней граней. Пусть , . Тогда : . Если , то функция - постоянна, и потому любую точку интервала можно считать точкой экстремума.

Рис. 3

Если , то из условия следует, что хотя бы одно из значений или не принимается на концах отрезка . Пусть этим значением является . По той же теореме Вейерштрасса . Тогда , т.е. точка является точкой максимума.

Второе утверждение сразу следует из теоремы 1.

Вставка 1.

Теорема 3 (Коши). Пусть функции и непрерывны на отрезке и дифференцируемы на интервале , причем . Тогда

. (1)

Доказательство. Покажем сначала, что . Если бы , то функция удовлетворяла бы условиям теоремы Ролля и, значит, нашлась бы точка , а это противоречит условию теоремы.

Рассмотрим вспомогательную функцию , где число выберем таким образом, чтобы . Это дает , откуда

. (2)

Так как функция удовлетворяет теперь условиям теоремы Ролля, то , или Это дает

.

Сравнивая этот результат с (2), получим (1).

Отметим частный случай теоремы Коши.

Теорема 4 (Лагранж). Пусть функция непрерывна на отрезке и дифференцируема на интервале . Тогда

. (3)

Вставка 2.

Полагая в (3) получим, что в условиях теоремы Лагранжа (рис. 5). Поэтому формулу Лагранжа называют еще формулой конечных приращений Лагранжа в отличие от приближенной формулы , которая следует из определения дифференциала и иногда называется формулой бесконечно малых приращений.

1. Признаки существования пределов последовательностей.

2. Достаточные условия монотонности и экстремума функции на промежутке.