§ 5. Производные и дифференциалы высших порядков

Определение 1. Пусть функция дифференцируема в каждой точке интервала . Тогда на этом интервале определена новая функция , которая в свою очередь может оказаться дифференцируемой в некоторой точке . Число называется второй производной, или производной второго порядка функции в точке и обозначается символами , , .

По индукции вводится понятие производной n-го порядка по формуле , если нужные производные существуют.

Определение 2. Функцию, имеющую на интервале конечную производную n-го порядка, называют n раз дифференцируемой на . Если, кроме того, все производные до n-го порядка включительно непрерывны, то функция называется n раз непрерывно-дифференцируемой.

Вставка 1.

Теорема. Пусть функции f и g имеют производные n – го порядка в точке х₀. Тогда функции f + g и fg также имеют производные n – го порядка в точке х₀, причем

; .

(Вторая формула называется формулой Лейбница).

Доказательство проведем по индукции. Для n = 1, т.е. для производных 1 – го порядка эти формулы были получены ранее. Предположим, что они верны для n = k. Докажем их справедливость для n = k + 1.

В случае суммы имеем

.

В случае произведения функций имеем

.

Изменим индекс суммирования во второй сумме, положим i = p – 1, тогда р будет меняться от 1 до k. После этого в полученных суммах объединим попарно слагаемые, содержащие производные одинаковых порядков. Обозначая общий индекс суммирования через р, будем иметь

+ .

Отсюда, т.к. (гл. I, § 6), получим

, ч. и т. д.

Вставка 2.

Для удобства дальнейших рассуждений дифференциал будем обозначать двумя буквами и .

Пусть функция дифференцируема на интервале . Ее дифференциал есть функция двух переменных: и . Пусть функция в свою очередь дифференцируема в точке . Тогда дифференциал функции df(x) при фиксированном имеет вид

.

Определение 3. Значение дифференциала в точке при называется вторым дифференциалом функции в точке и обозначается символом .

Таким образом, = . По индукции можно определить дифференциал n-го порядка (если он существует), причем .

Билет № 8

1. Сходящиеся последовательности и их свойства.

2. Теоремы о среднем.

§ 2. Сходящиеся последовательности и их свойства.

Определение 1. Число а  R называется пределом последовательности {x_n}, если последовательность {x_n – a} является б/ м. Последовательность, у которой существует предел, называется сходящейся, в противном случае – расходящейся.

Символически факт существования предела последовательности записывается так: .

Из приведенного определения следует:

1. если {_n} - б/ м последовательность, то ;

2. , где {_n} - б/ м последовательность;

3. если  , то последовательность {x_n}

Перефразируем определение 1, используя понятие б/ м последовательности.

Определение 2. , если   > 0  n₀ = n₀(): n > n₀ |x_n – a| < .

Вставка 1.

Договоримся в дальнейшем б/б последовательности рассматривать как последовательности, сходящиеся к символу  (либо +, - ). Например, , .

Теорема 1. Cходящаяся последовательность имеет один предел.

Доказательство. Предположим, что и , причем a  b. Тогда из (2) следует, что x_n = a + _n и x_n = b + _n, где {_n} и {_n} - б/ м последовательности.

Имеем _n - _n = b – a.

С одной стороны, по теореме 2 (§ 1) последовательность {_n - _n} - б/ м; с другой, эта последовательность постоянна _n - _n = b – a  0, и потому при 0 <  < |b – a| получим, что n |_n - _n| > , что противоречит определению б/ м последовательности. Следовательно, предположение, что a  b неверно.

Теорема 2. Алгебраическая сумма конечного числа сходящихся последовательностей сходится, причем ее предел равен алгебраической сумме пределов слагаемых.

Доказательство. Проведем доказательство для суммы двух последовательностей.

Пусть , . Тогда x_n = a + _n, y_n = b + _n, где {_n} и {_n} - б/ м последовательности. Далее, x_n + y_n = (a + b) + (_n + _n), причем последовательность {_n + _n} - б/ м (т. 2, § 1). Поэтому .

Вставка 2.

Теорема 3. Произведение конечного числа сходящихся последовательностей сходится, причем предел равен произведению пределов сомножителей.

Доказательство. Проведем доказательство для двух последовательностей.

Пусть , . Тогда x_n = a + _n, y_n = b + _n, где {_n} и {_n} - б/ м последовательности. Поэтому x_n y_n = ab + (a_n + b_n + _n_n). По теоремам 2 и 3 (§ 1) последовательность {a_n + b_n + _n_n} - б/ м, а потому .

Следствие. Пусть . Тогда

1)  С  R; 2)  k  Q.

Лемма. Пусть и a < b (a > c). Тогда, начиная с некоторого номера, x_n < b (x_n > c).

Доказательство. Положим  = b – a > 0. По определению предела  n₀: n > n₀ |x_n – a| > b – a, откуда 2a – b < x_n < b. Правое неравенство доказывает утверждение.

Теорема 4. Если и n > n₀ x_n  b (x_n  с), то a  b (a  с).

Доказательство. Пусть при n > n₀ x_n  b. Предположим, что a < b. Тогда по лемме n₁: n > n₁ x_n < b, что противоречит условию. Следовательно, a  b.

Замечание. Если x_n > b, то отсюда не следует, что a > b, а только a  b. Например, : , но .

Следствие. Пусть , , причем  n > n₀ x_n  y_n. Тогда a  b.

Рассмотрим последовательность {y_n – x_n}. В силу теоремы 2 имеем . А так как  n > n₀ y_n – x_n  0, по теореме 4 b – a  0 или a  b.

Теорема 5. Пусть , , причем  n y_n  0 и b  0. Тогда последовательность сходится к .

Доказательство. Пусть для определенности b > 0. Имеем x_n = a + _n, y_n = b + _n, где

{_n} и {_n} - б/ м последовательности. Поэтому

. (1)

По лемме  n₀:  n > n₀ . Следовательно,  n > n₀

.

Это означает, что последовательность ограничена. Далее, из теорем 2 и 3 (§1) вытекает, что последовательность - б/м, а потому последовательность также является б/м. В силу этого из (1) получим, что последовательность и .

Аналогично рассматривается случай b < 0.