§ 1. Множества и операции над ними.

Для удобства записей в дальнейшем будем использовать символы:

 А – «для любого (произвольного) А»;

 В – «существует (найдется) В»;

А  В (импликация) – «В следует из А», «В – необходимое условие для А», «А – достаточное условие для В»;

А  В – «В является необходимым и достаточным условием для А»; «А имеет место тогда и только тогда, когда выполнено В»;

А  В – «А и В справедливы одновременно»;

А  В – «справедливо хотя бы одно из предложений А или В».

Понятие множества относится к начальным понятиям современной математики. Оно не сводится к другим, уже известным и потому более простым понятиям, а значит, его нельзя определить, не используя синонимы, а можно только описать.

Под множеством будем понимать собрание, совокупность некоторых предметов, понятий, объединенных по какому-либо признаку (условию).

Вставка 1.

Предметы или понятия, составляющие некоторое множество, называются его элементами (иногда, точками).

Множества будем обозначать либо заглавными буквами А, В,…, либо прописными в фигурных скобках {x}, {a},... Множество элементов, обладающих характерным свойством Р, будем записывать так А = {x| P}.

Вставка 2.

В дальнейшем: N – множество натуральных чисел, Z – множество целых чисел, Q – множество рациональных чисел, J – множество иррациональных чисел, R – множество вещественных (действительных) чисел.

Если элемент х принадлежит множеству А, то будем писать х  А; если же х не принадлежит А, то будем писать х  А.

Начальным понятием является также понятие пустого множества, т.е. множества, не содержащее элементов. Пустое множество будем обозначать символом .

Множество А называется подмножеством множества В, если  х  А  х  В. В этом случае пишут А  В. Пустое множество считают подмножеством любого множества А.

Возможен случай А = В, т.е. элементы множеств А и В совпадают.

Вставка 3.

Суммой или объединением А  В множеств А и В называется множество С, состоящее из элементов, принадлежащих хотя бы одному из множеств А или В (С = А  В = {x| х  А  х  В}).

Вставка 4.

Из приведенного определения суммы вытекает, что А  В = В  А, А (В  С) = А (В  С).

Пересечением А  В двух множеств А и В называется множество D, составленное из элементов, принадлежащих как множеству А, так и множеству В (D = А  В = {x | x  A  x  B}).

Вставка 5.

Легко убедиться в справедливости следующих свойств: 1) А  В = В  А, 2) (А  В)  С = А  (В  С), 3) А  В, то А  В = А, в частности А  А = А, А   = .

Разностью Е = А \ В двух множеств А и В называется множество, состоящее из элементов множества А, не принадлежащих В. Если А  S, то множество K = S \ А называется дополнением множества А до множества S.

§ 5. Замечательные пределы и некоторые их свойства.

Теорема 1 (1-й замечательный предел).

Доказательство. Рассмотрим круг радиуса R с центром в точке О. Пусть ВОА , 0 < х < и СА ОА (см. рис.). Тогда , , . Из геометрических соображений получим < < , откуда в результате преобразований имеем неравенства 0 < 1 - < 1 - .