2.4.4. Дискретное косинусное преобразование

Дискретное косинусное преобразование (ДКП) непосредственно связано с ДПФ. Недостаток ДПФ заключается в том, что спектральные коэффициенты носят комплексный характер. Однако можно осуществить такое преобразование множества отсчетов сигнала Х(n), в котором используется только реальная часть ядра преобразования ДПФ, т.е. только члены, связанные с соs. Используя запись ДПФ, получаем выражения прямого (13), (14) и обратного (15) ДКП:

. (13)

(14)

(15)

Множество базисных векторов

, (16)

, (17)

образуют ядро ДКП.

Замечание. Базисные вектора (16), (17) эквивалентны множеству дискретных многочленов Чебышева.

Матричная форма записи ДКП имеет вид:

Прямое одномерное ДКП

, k, n {0,1,…,N-1},

(18)

где [С(k)] – вектор- столбец спектральных коэффициентов ДКП размером (N 1);

, n {0,1,…,N–1}, k {1,2,…,N–1},

(19)

где [ ] матрица дискретного множества функций ДКП размером (N N);

[X(n)] – вектор-столбец отсчетов сигнала размером (N 1). [6]

Обратное одномерное ДКП

[C(k)], k,n {0,1,…,N-1},

(20)

Прямое ДКП двухмерного фрагмента изображения размером (N N) запишется как

, ,

(21)

где [C( )] – матрица спектральных коэффициентов ДКП размером (N N); [X(n )] – сигнальная матрица размером (N N);

[ ] – матрица ДКП размером (N N) в соответствии с формулой (19).

Элементы матрицы равны:

= (22)

Прямое двухмерное преобразование ДКП в матричной форме имеет вид:

[C( )] = .

(23)

Обратное преобразование в матричной форме записывается как

.

(24)

2.4.5. Дискретное преобразование Хартли

К линейному ортогональному преобразованию относится и преобразование Хартли (ПХ). Это преобразование связано с преобразованием Фурье, результат выражается действительными числами, но в отличии от косинусного прямое и обратное преобразования Хартли совпадают, что может обеспечить экономию аппаратных средств.

Прямое и обратное одномерное ПХ записывается следующим образом:

,	(25)
,	(26)

где cas( ) = cos( )+sin( ); – круговая частота;

t – время.

Дискретное одномерное преобразование Хартли (ДПХ) имеет вид

, k {0,1,…,N –1},

(27)

где .

Выражение (27) задает коэффициенты разложения (коэффициенты Хартли) некоторой действительной функции g(n) по дискретным функциям , причем g(n) задана на дискретном множестве аргументов n {0,1,…,N-1}.

Используя свойство ортогональности функций, можно получить выражение для обратного одномерного дискретного преобразования Хартли (ОДПХ):

g(n)= , n {0,1,…,N–1},

(28)

Матричная форма записи одномерного прямого ДПХ имеет вид

[G(k)]=[v(k,n)][g(n)], k, n {0,1,…,N–1},

(29)

где [v(k,n)]= - матрица дискретного множества ортогональных функций ДПХ размером (N N);

[G(k)] – вектор-столбец спектральных коэффициентов ДПХ размером (N 1);

[g(n)] – вектор-столбец дискретных значений (отсчетов) сигнала.

Обратное одномерное ДПХ в матричной форме записи представляется как:

[g(n)]= , k, n {0,1,…,N-1},

(30)

Прямое ДПХ двухмерного фрагмента изображения размером (N N) запишется в виде

[G( )] , , {0,1,…,N-1},

(31)

где [g( )] – сигнальная матрица размером (N N);

[G( )] – матрица спектральных коэффициентов ДПХ размером (N N);

[v(k,n)] – квадратная матрица ДПХ размером (N N):

, k, n {0,1,…,N-1},

(32)

Двухмерное обратное преобразование Хартли записывается в виде

[g( )]= .

(33)

Отметим, что матрицы преобразований прямого и обратного ДПХ идентичны, так как [v(k,n)]=[v(k,n)] .