2.3. Фильтрация трансформант

В результате преобразования [Х( )] согласно формулы (2) большая часть энергии трансформант концентрируется на низких пространственных частотах. Это свойство позволяет осуществить фильтрацию трансформант с высокими порядковыми номерами. Тогда преобразование трансформант будет заключаться в исключении (фильтрации) тех спектральных коэффициентов, которые несущественны в энергетическом отношении, т.е. в преобразовании массива ( ) пикселов в массив М < .

Различают два основных метода фильтрации трансформант: адаптивный и неадаптивный.

В адаптивном методе учитывается распределение энергии в конкретном преобразуемом в данный момент фрагменте изображения всех коэффициентов, а затем сохраняются лишь те из них, которые превышают установленный порог, определяемый исходя из требований к качеству восстановленного изображения. Такой метод называют пороговым. Сложность этого метода состоит в том, что параллельно с передачей значения спектрального коэффициента необходимо также кодировать и передавать информацию о его номере.

Неадаптивный (детерминированный) способ фильтрации трансформант предполагает сохранение лишь М коэффициентов с наибольшими дисперсиями. В случае детерминированного способа отбора трансформант исключается необходимость передачи адресных кодовых слов. Значения передаваемых трансформант квантуются числом уровней, пропорциональным дисперсии соответствующего коэффициента. Такой способ отбора коэффициентов преобразования называют еще дисперсионным.

2.4 Кодирование изображений посредством преобразований

2.4.1 Преобразование Карунена-Лоэва

Преобразование Карунена-Лоэва является оптимальным ортогональным преобразованием, служащим для сжатия видеоинформации в соответствии с таким критерием качества как среднеквадратическая ошибка (СКО). При использовании ПКЛ обеспечивается соответствие матрицы преобразования статистическим характеристикам обрабатываемых сигналов. Преобразованный фрагмент, содержащий трансформанты, состоит из некоррелированных трансформант, которые можно сгруппировать в соответствии с критерием информационного содержания или с точки зрения степени субъективного качества изображения, осуществляя тем самым более эффективное сокращение избыточности. Для расчета ПКЛ необходимо найти ковариационную сигнальную матрицу, по которой затем определить соответствующие собственные значения и собственные векторы, которые образуют матрицу преобразования. Только после этого можно осуществить само преобразование. Так как различным изображениям соответствуют различные ковариационные матрицы, процесс кодирования на основе ПКЛ по сравнению с другими ортогональными преобразованиями, значительно сложнее и имеет ограниченные возможности применения обычных быстрых алгоритмов расчета[3].

2.4.2 Дискретное преобразование Фурье

Дискретное преобразование Фурье (ДПФ) устанавливает связь между временным и частотным представлением сигнала при разложении его по гармоническим дискретно-экспоненциальным функциям.

Прямое дискретное преобразование Фурье (ДПФ) последовательности определяется как дискретная последовательности в частотной области (экспоненциальная форма)

где – индекс ДПФ в частотной области, – временной входной последовательности отсчетов сигнала.

Обратное ДПФ (ОДПФ) имеет следующий вид:

Тригонометрическая форма ДПФ:

• прямое ДПФ

• обратное ДПФ

Существует два класса алгоритмов вычисления преобразования Фурье: обычное дискретное преобразование Фурье и быстрое дискретное преобразование Фурье (БПФ) [11].

1.Дискретным преобразованием Фурье условно называют непосредственное вычисление по формулам ДПФ и ОДПФ. При этом допускают все известные способы распараллеливания векторно-матричных операций. Если пользоваться обычным правилом умножения матрицы на вектор, то вычисления векторов x и X требуют операций комплексного умножения и N(N-1) операций комплексного сложения.

2. Быстрое преобразование Фурье включает набор эффективных алгоритмов, предназначенных для вычисления ДПФ. Идея БПФ по своей природе заключается в следующем. Величина N, определяющая длину входной последовательности отсчетов, раскладывается на сомножители, затем вычисляются отдельные ДПФ меньших длин, чем N, из которых потом формируется выходная последовательность. Происходит так называемое расщепление исходного алгоритма на комбинацию подобных алгоритмов меньшего размера. БПФ содержит число мультипликативных операций (операций комплексного умножения) , число аддитивных операций (операций комплексного сложения) . Вычислительная экономия составляет / . Например, если N=1024, то экономия составляет 204,8 раза. БПФ содержит операций комплексного сложения в отличие от N(N-1) при ДПФ таким образом, вычислительная экономия составляет N(N-1) / . Например, если N=1024, то экономия составляет 102,3 раза.

2.4.3. Дискретное преобразование Уолша-Адамара

Пусть сигнал S(t) представлен совокупностью своих равноотстоящих отсчетов S(n), n = 0,1,2,…,N-1. Выражения

B(h)= , h = 0,1,2,…,N-1,	(9)
S(x)= , h = 0,1,2,…,N-1,	(10)

образуют пару дискретных преобразований Уолша-Адамара в показательной форме.

Формула (9) называется прямым преобразованием Уолша-Адамара (ДПУА) и дает спектр сигнала в базисе Уолша.

Формула (10) называется обратным преобразованием Уолша-Адамара.

Матрицей Адамара называется ортогональная квадратная матрица, элементами которой являются действительные числа 1 и –1. Простейшей матрицей Адамара является матрица порядка два:

.

Для построения матрицы Адамара порядка используется матрица и теорема: если - матрица Адамара порядка , то

является матрицей Адамара порядка .

Используя матрицу Адамара, запишем преобразования (9) и (10) в матричной форме:

B = ,	(11)
S = ,	(12)

где B = [B(0), B(1), …,B(N–1)] – вектор коэффициентов преобразования Уолша-Адамара;

S = [S(0), S(1), …,S(N–1)] – вектор отсчетов входного сигнала;

H – матрица Адамара порядка N.

Вычисление по формулам (11), (12) требует N(N-1) операций. Существуют быстрые алгоритмы (быстрые преобразования Адамара (БПУА)), которые требуют только N log N операций. Их сущность заключается в разбиении матрицы Адамара в произведение слабозаполненных матриц. Процесс умножения на матрицу Адамара заключается в последовательном умножении на слабозаполненные матрицы.

Вычислительные преимущества БПУА по сравнению ДПУА следующие:

– ДПУА требует N(N-1) операций сложений;

– БПУА требуют N log N операций.

Вычислительная экономия составляет N(N-1) / N log N. Например, если N=1024, то выигрыш составит 1024(1024-1)/1024 log 1024=102,3 раза.