76 Вопрос. § 4. Затухающие колебания

1. Собственные затухающие колебания

Действует на систему:

– сила трения

Уравнение равновесия:

(8)

Линейное дифференциальное уравнение второго рода без правой части:

Окончательное уравнение: (9)

Решение этого уравнения ищется в виде одного корня:

(10)

Колебания затухают т.к. импульс силы действует мгновенно и трение препятствует движению.

Частота собственных колебаний с учетом коэффициента трения :

(11)

В том случае, если вал вращается или совершает возвратно-поступательные движения в высоко вязкой среде, коэффициент трения велик, под корнем отрицательное число частота собственных колебаний мнимым числом.

Графическое изображение (11):

Такие колебания устойчивы, система занимает положение устойчивого равновесия, колебания называются апериодическими. Максимальное значение амплитуды колебаний будет при :

(12)

Графическое изображение (12):

Если взять отношения двух соседних амплитуд, отличающихся по величине, то получим постоянную величину

– логарифмический декремент затухания.

При коэффициенте происходят затухания.

В справочниках для аппаратов

Для кранов, мостов, стержней

Зная и время пуска двигателя можно определить отклонение .

77 Вопрос

Система находится в какой-то среде, на неё действует вынуждающая сила . Этой силой может быть несбалансированный ротор. Действует сила инерции упругости.Под действие вынуждающей силы система получает перемещение , и в общем виде на систему действуют:

(1)

(1) – линейное ДУ-II с правой частью. Чтоб его решить нужно освободить вторую производную:

; ;

(2)

(2) – линейное ДУ-II с правой частью. Решение:

(3)

– характеризует колебания системы с частотой собственных колебаний.

– характеризует колебания системы с частотой вынужденных колебаний.

При решении (3) надо определить постоянные интегрирования и :

(4)

Из (4) видно, что амплитуда колебаний зависит от соотношения частот вынужденных и собственных колебаний и коэффициента трения .

78 Вопрос

Коэффициент динамичности:

(5)

Графическое изображение (4) и (5):

Из (5) видно, что будет не при 1, а при значениях . Зная и задаваясь для гибкого и жесткого вала можно определить .

Вторая важная величина – фаза колебаний. При решении (2)получено, что

(6)

Графическое изображение (6):

Из него видно, что фазовый угол оказывает большое влияние на соотношение . В тоже время фазовый угол зависит от . При небольших соотношениях фазовый угол возрастает и остается при значения , т.е. .

Если , вал работает в закритической области, т.е. при переходе через функция меняет знак.

– это угол, определяющий направление между действующей силой и деформацией. Перемена знака при переходе через означает, что одна из составляющих должна переменить знак. Действующая сила (центробежная) знака переменить не может, значит знак должна переменить сила, характеризующая деформацию ( ). Значит скорости достигли какой-то критической величины деформаций максимальных значений. При дальнейшем увеличении скорости вал занимает устойчивое положение с уменьшением деформации. Это явление лежит в основе самоцентрирования.