Бесконечно малая величина

Последовательность   называется бесконечно малой, если  . Например, последовательность чисел   — бесконечно малая.

Функция называется бесконечно малой в окрестности точки  , если  .

Функция называется бесконечно малой на бесконечности, если   либо  .

Также бесконечно малой является функция, представляющая собой разность функции и её предела, то есть если  , то  ,  .

Свойства бесконечно малых

• Сумма конечного числа бесконечно малых — бесконечно малая.

• Произведение бесконечно малых — бесконечно малая.

• Произведение бесконечно малой последовательности на ограниченную — бесконечно малая. Как следствие, произведение бесконечно малой на константу — бесконечно малая.

• Если   — бесконечно малая последовательность, сохраняющая знак, то   — бесконечно большая последовательность.

11.

Теорема 5. Если функция ограниченна и монотонна на (a, b), то она имеет предел: 

12.

Бесконечно большая (величина) — числовая функция или последовательность, которая стремится к бесконечности определённого знака.

Бесконечно большая величина

Во всех приведённых ниже формулах бесконечность справа от равенства подразумевается определённого знака (либо «плюс», либо «минус»). То есть, например, функция  , неограниченная с обеих сторон, не является бесконечно большой при  .

Последовательность   называется бесконечно большой, если  .

Функция называется бесконечно большой в окрестности точки  , если  .

Функция называется бесконечно большой на бесконечности, если   либо  .

Связь между бесконечно малыми и бесконечно большими функциями

1. Если f(x) — бесконечно большая функция при x → x₀, то  

   1

   f(x)

2.    — бесконечно малая функция при x → x₀.

3. Если α(x) — бесконечно малая функция при x → x₀   и   x  

   ·

   O

4. (x₀)    α(x) ≠ 0,   то   

   1

   α(x)

5.    — бесконечно большая функция при x → x₀.

Доказательства этих утверждений приведены в книге И.М. Петрушко и Л.А. Кузнецова “Курс высшей математики: Введение в математический анализ. Дифференциальное исчисление.” М.: Изд–во МЭИ, 2000. Стр. 70–71.

Сравнение бесконечно малых функций

Пусть α(x) и β(x) — бесконечно малые функции при x → x ₀, отличные от нуля в некоторой окрестности точки x₀.

1. Если

   lim x → x0    α(x) β(x)    = 0,

2.  

3. то α(x) называется бесконечно малой функцией более высокого порядка по сравнению с β(x) и обозначается с помощью символа “o малое”: α = o(β) при x → x₀.

4. Если

   lim x → x0    α(x) β(x)    = C,

5.  

6. где C — любое число, не равное нулю, то α(x) и β(x) называются бесконечно малыми функциями одного порядка: α  β при x → x₀.

7. Если

   lim x → x0    α(x) β(x)    = 1,

8.  

9. то α(x) и β(x) называются эквивалентными бесконечно малыми функциями: α  β при x → x₀.

10. Если

    lim x → x0    α(x) β(x)

11.  

12. не существует, то α(x) и β(x) называются несравнимыми бесконечно малыми функциями.

При вычислении пределов широко используется теорема o замене функций на эквивалентные:

Теорема 2. Предел отношения двух бесконечно малых функций не изменится, если каждую функцию (или только одну из них) заменить на эквивалентную, т.е. если α(x)  α₁(x) и β(x)  β₁(x), то

lim x → x0    α β    =  lim x → x0    α1 β1  .

Замечание. Утверждение теоремы справедливо и в тех случаях, когда оба предела бесконечны или не существуют.

Доказательство приведено в книге И.М. Петрушко и Л.А. Кузнецова “Курс высшей математики: Введение в математический анализ. Дифференциальное исчисление.” М.: Изд–во МЭИ, 2000. Стр. 77.

При вычислении пределов с помощью замены бесконечно малых функций на эквивалентные используется

13.

Обозначение предела Предел функции обозначается как   , при   или через символ предела   .

Всюду ниже предполагается, что пределы функций существуют.

Рассмотрим основные свойства пределов.

1. Предел суммы

Предел суммы равен сумме пределов, если каждый из них существует, т.е.

2. Предел разности

Предел разности равен разности пределов, если каждый из них существует, т.е.

3. Предел постоянной величины

Предел постоянной величины равен самой постоянной величине:

4. Предел произведения функции на постоянную величину

Постоянный коэффициэнт можно выносить за знак предела:

5. Предел произведения Предел произведения равен произведению пределов, если каждый из них существует, т.е.

6. Предел частного

Предел частного равен частному пределов, если каждый из них существует и знаменатель не обращается в нуль, т.е.

7. Предел степенной функции

где степень p - действительное число.

8. Предел показательной функции

где основание b > 0.

9. Предел логарифмической функции

где основание b > 0.

14.