Билет 1

Множество и элемент множества относятся к числу первичных понятий, для которых не существует определений в строгом смысле слова. Поэтому обычно говорят о множестве как о наборе предметов ( элементов множества ), наделённых определёнными общими свойствами. Множество книг в библиотеке, множество автомобилей на стоянке, множество звёзд на небосводе, растительный и животный мир Земли – всё это примеры множеств.

 

Конечное множество состоит из конечного числа элементов, например, множество страниц в книге, множество учеников в школе и т.д.

 

Пустое множество (   ) не содержит ни одного элемента, например, множество крылатых слонов, множество корней уравнения  sin x = 2  и т.д.

 

Бесконечное множество состоит из бесконечного числа элементов, т.е. это множество, которое не является ни конечным, ни пустым. Примеры: множество действительных чисел, множество точек плоскости, множество атомов во Вселенной и т.д.

 

Счётное множество – множество, элементы которого можно пронумеровать. Например, множества натуральных, чётных, нечётных чисел. Счётное множество может быть конечным ( множество книг в библиотеке ) илибесконечным ( множество целых чисел, его элементы можно пронумеровать следующим образом:

 

элементы множества:    …, –5,   – 4,   –3,   –2,   –1,   0,   1,   2,   3,   4,   5, …

 

номера элементов:           ...   11       9      7      5      3    1    2    4    6    8   10 ...  ) .

 

Несчётное множество – множество, элементы которого невозможно пронумеровать. Например, множество действительных чисел. Несчётное множество может быть только бесконечным ( продумайте, почему ? ).

 

Выпуклое  множество – множество, которое наряду с любыми двумя точками А и В содержит также весь отрезок  АВ. Примеры выпуклых множеств: прямая, плоскость, круг. Однако, окружность не является выпуклым множеством.

 

Способы задания множеств. Множество может быть задано следующим образом:

 

– перечислением всех его элементов по их названиям ( так описываются множество книг в библиотеке, множество учеников в классе, алфавит любого языка и т.д.);

 

– заданием общей характеристики ( общих свойств ) элементов данного множества ( например, множество рациональных чисел, собаки, семейство кошачих и т.д.);

 

– формальным законом построения элементов множества ( например, формула общего члена числовой последовательности, Периодическая система элементов Менделеева и т.д.).

 Пустое множество — множество, не содержащее ни одного элемента. Универсальное множество (универсум) — множество, содержащее все мыслимые Конечное множество — множество, количество элементов которого конечно, то есть, существует неотрицательное целое число k, равное количеству элементов этого множества. В противном случае множество называется бесконечным.объекты. Упорядоченное множество — множество, на котором задано отношение порядка.

Подмно́жество в теории множеств — это понятие части множества. Множество   является подмножеством множества  , если любой элемент, принадлежащий  , также принадлежит  . Формальное определение:

Множество   называется надмно́жеством множества  , если   — подмножество  .

Существует два символических обозначения для подмножеств:

2.

Над множествами, как и над многими другими математическими объектами, можно совершать различные операции, которые иногда называют теоретико-множественными операциями или сет-операциями. В результате операций из исходных множеств получаются новые.

Объединением множеств А и В называется множество С, состоящее из всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из данных множеств (т. е. либо A, либо B, либо одновременно и A и B). Объединение множеств обозначается символами "+" и "U": C = A U B.

Пример. Даны множества А = {-6, -3, 0, 3, 6} и B = {0, 2, 4, 6, 8}. Тогда A U B = {-6, -3, 0, 2, 3, 4, 6, 8}. Геометрически объединение множеств изображено на рисунке 4.

Пересечением множеств А и В называется множество С, состоящее из элементов, принадлежащих одновременно и множеству А, и множеству В. Если множества А и В не имеют общих элементов, их пересечение равно пустому множеству; в этом случае множества А и В называются непересекающимися. Пересечение множеств обозначается символами "∩" и "•" (знак умножения): С = А ∩ В или С = АВ.

Пример. Даны множества А = {-6, -3, 0, 3, 6} и B = {0, 2, 4, 6, 8}. Тогда A ∩ B = {0, 6}.

Разностью множеств А и В называется множество А\В, содержащее те элементы множества А, которые не принадлежат множеству В.

В определении разности множеств А и В не предполагается, что В является подмножеством множества A (Рис. 6). Если же В подмножество A, то разность А\В называется дополнением множества В до множества А (Рис. 7). Для дополнения множества А до универсального множества U применяется обозначение 

1.6 Свойства операций над множествами

Объединение и пересечение:

1. =  – коммутативность

2. =  – коммутативность

3.  – ассоциативность

4.  – ассоциативность

5.   – дистрибутивность

6.   – дистрибутивность

7.  – идемпотентность

8.  – идемпотентность

9.  – свойство дополнения

10.  – свойство дополнения

11.  – закон де Моргана

12.  – закон де Моргана

13.  – свойство нуля

14.  – свойство нуля

Дополнение:

15.   – инволютивность

16. 

17. 

Разность, симметрическая разность:

18.

19.

20.

21.

22. 

23. 

3.нет

4.

Числовая последовательность — это последовательность элементов числового пространства.

Определение 22 (определение последовательности). Функция f:N X, областью определения которой является множество натуральных чисел, называется последовательностью.

Если f:N R, то последовательность называется числовой. Иначе, числовая последовательность – это функция натурального аргумента: x_n = f(n). Обозначают числовую последовательность {x_n}. Примеры числовых последовательностей

5.

Предел (числовой последовательности) — одно из основных понятий математического анализа. Каждое вещественное число может быть представлено как предел последовательности приближений к нужному значению. Система счисления предоставляет такую последовательность уточнений. Целые и рациональные числа описываются периодическими последовательностями приближений, в то время как иррациональные числа описываются непериодическими последовательностями приближений.^[1] В численных методах, где используется представление чисел с конечным числом знаков, особую роль играет выбор системы приближений. Критерием качества системы приближений является скорость сходимости. В этом отношении, оказываются эффективными представления чисел в виде цепных дробей.

Число   называется пределом числовой последовательности  , если последовательность   является бесконечно малой, т. е. все её элементы, начиная с некоторого, по модулю меньше любого заранее взятого положительного числа.

В случае, если у числовой последовательности существует предел в виде вещественного числа  , её называют сходящейся к этому числу. В противном случае, последовательность называют расходящейся. Если к тому же она неограниченна, то её предел полагают равным бесконечности.

Кроме того, если все элементы неограниченной последовательности, начиная с некоторого номера, имеют положительный знак, то говорят, что предел такой последовательности равен плюс бесконечности.

Если же элементы неограниченной последовательности, начиная с некоторого номера, имеют отрицательный знак, то говорят, что предел такой последовательности равен минус бесконечности.

Частичный предел последовательности — это предел одной из её подпоследовательностей.

Верхний предел последовательности — это наибольшая из её предельных точек.

Нижний предел последовательности — это наименьшая из её предельных точек.

Последовательность {xn} называется сходящейся, если существует такое вещественное число а, что последовательность {xn−a} является бесконечно малой.  Если последовательность {xn→a } является сходящейся и имеет своим пределом число a, то символически это записывают так:limn→∞xn=a или xn→a  при n→∞  Определение. Последовательность {xn} называется сходящейся, если существует такое вещественное число a, что для любого положительного вещественного числа ε найдется номер N(ε) такой, что при всехn>Nэлементы xn этой последовательности удовлетворяют неравенству ∣xn−a∣<ε  При этом число a называется пределом последовательности. Неравенство (5) можно записать в эквивалентной форме −ε<xn−a<+ε  или, a−ε<xn<a+ε . (5')

6.

Теорема о единственности предела последовательности

Докажем следующую теорему.

Теорема 1. Любая сходящаяся последовательность имеет единственный предел.

Доказательство. Предположим, что это не так, т. е. xna и xnb одновременно. Выберем числа 1 и 2 таким образом, чтобы множества, задаваемые неравенствами  , не пересекались. По определению предела последовательности, начиная с некоторых значений N1 (N2), все члены последовательности принадлежат первому (второму) из этих множеств. Выберем в качестве N3=max(N1, N2). Тогда, начиная с номера N3, все члены последовательности принадлежат обоим этим множествам, что невозможно. □

Задание. Доказать, что если последовательность сходится, то она является ограниченной, т. е. все её значения по абсолютной величине не превосходят некоторого числа.

Пример. Доказать, что  .

Предельный переход в неравенствах

Теорема 2. Если для двух последовательностей xn, yn всегда выполняется неравенство xn  yn, причём каждая из них имеет конечный предел: xn  a,  yn  b, то a  b.

Доказательство. Предположим, что это не так, т. е. a < b. Выберем  > 0 таким образом, чтобы окрестности точек a и b не пересекались. Тогда все элементы последовательности xn, начиная с некоторого N1, попадают в -окрестность точки a, а все элементы последовательности yn, начиная с некоторого N2, попадают в -окрестность точки b. Выберем N3 = max(N1, N2). Тогда n  N3 справедливо неравенство xn < yn. Получили противоречие. □

Замечание. Из строгого неравенства xn>yn для сходящихся последовательностей, вообще говоря, следует неравенство  . Приведите пример.

Теорема 3. Если для последовательностей xn, yn, zn всегда выполняются неравенства xnynzn, причём  , тогда  .

Доказательство проводится так же, как и в предыдущей теореме.

Следствие. Если для всех n a  yn  zn, причём  , тогда  .

Примеры последовательностей. Предел числовой последовательности. Существование предела у ограниченной монотонной последовательности. Лемма о вложенных отрезках. Подпоследовательности. Теорема Больцано-Вейерштрасса о выделении сходящейся подпоследовательности. 

7.

Бесконечно малая (величина) — числовая функция или последовательность, которая стремится к нулю.

Бесконечно большая (величина) — числовая функция или последовательность, которая стремится к бесконечности определённого знака.