22. Производящие функции. Свойства. П.Ф. Суммы с.В.

Пусть - последовательность действительных чисел. Если ряд сходится в интервале , то функция A(s) называется производящей функцией последовательности .

Свойства производящих функций.

P(1)=1

11, |s||P(s)|

 += независимые случайные величины.  и

k=0,1,2,… в области . Можно сделать вывод: существуют непрерывные, неотрицательные, монотонно неубывающие и выпуклые производные – P^(k)(s)

Попытаемся восстановить по производящей функции вероятности.

P_(s), т.е. существует взаимно однозначное соответствие между случайным распределением и производящей функцией.

Производящая функция суммы N независимых случайных величин равна произведению N производящих функций, связанных с каждой случайной величиной.

Производящая функция моментов суммы независимых случайных величин равна произведению их производящих функций моментов. Пусть суть независимые случайные величины. Обозначим . Тогда .

23. Характеристи́ческая функция. Функция суммы.

Характеристическая функция случайной величины - один из способов задания распределения.

Определение. Пусть есть случайная величина с распределением . Тогда характеристическая функция задаётся формулой:

.

Пользуясь формулами для вычисления математического ожидания, определение характеристической функции можно переписать в виде: ,

то есть характеристическая функция — это преобразование Фурье распределения случайной величины.

Если случайная величина принимает значения в произвольном гильбертовом пространстве , то её характеристическая функция имеет вид:

, где обозначает скалярное произведение в .

Свойства характеристических функций

Характеристическая функция однозначно определяет распределение. Пусть суть две случайные величины, и . Тогда . В частности, если обе величины абсолютно непрерывны, то совпадение характеристических функций влечёт совпадение плотностей. Если обе случайные величины дискретны, то совпадение характеристических функций влечёт совпадение функций вероятности.

Характеристическая функция всегда ограничена:

.

Характеристическая функция в нуле равна единице: .

Характеристическая функция всегда непрерывна: .

Характеристическая функция как функция случайной величины однородна: .

Характеристическая функция суммы независимых случайных величин равна произведению их характеристических функций. Пусть суть независимые случайные величины. Обозначим .Тогда .

Характеристическая функция суммы независимых случайных величин равна произведению характеристических функций слагаемых: если случайные величины и независимы, то, по свойству математических ожиданий