15. Функция распределения и плотностьнепрерывной случайной величины. Матожидание, дисперсия.

Непрерывной случайной величиной (НСВ) называют случайную величину, которая может принимать все значения из некоторого конечного или бесконечного промежутка. Множество возможных значений непрерывной случайной величины бесконечно и несчетно.

 Для вывода формулы функции распределения НСВХ познакомимся сначала с плотностью распределения вероятностей НСВХ.

Введем ограничение: рассмотрим только такие СВХ, для которых вероятность попадания в интервал (х; х+Dх) , где Dх>0 и Dх®0, пропорциональна длине интервала Dх, т.е.Р(х, х+Dх)» р(х)Dх, где р(х)- коэффициент пропорциональности, р(х) Dх- элемент вероятности. Выясним его смысл с помощью полученного приближенного равенства:  

Следовательно, р(х)- есть вероятность , которая приходится на единицу длины , рассматриваемого участка и равна производной интегральной функции распределения. Поэтому р(х) называют плотностью распределения вероятностей или дифференциальной функцией распределения.

Если все значения НСВХ принадлежат некоторому интервалу (а; в), то интегральная функция распределения имеет вид :  

Если НСВХ может принять любое действительное значение, то функция имеет вид:

Вероятность попадания НСВХ в некоторый интервал (a,b) равна :

Из геометрического смысла определенного интеграла следует, что вероятность попадания НСВХ в заданный интервал равна площади криволинейной трапеции, ограниченной осью абсцисс, прямыми х = а и х= b графиком функции р(х), который называется кривой распределения вероятностей.  

Т.к. в результате опыта случайная величина обязательно примет какое -либо из возможных значений, то :  

или  

Определение. Математическим ожиданием M(X) непрерывной случайной величины X, возможные значения которой принадлежат отрезку [а, b], называется определенный интеграл

Дисперсией непрерывной случайной величины X, возможные значения которой принадлежат отрезку [а, b], называется определенный интеграл   или   .

При вычислении дисперсии НСВХ также можно пользоваться формулой

Среднее квадратическое отклонение равно корню квадратному из дисперсии :

16. Параметры нормального и характеристики равномерного распределения??

Нормальное.

Функция распределения:

Параметр а- есть математическое ожидание НСВХ, имеющей нормальное распределение, s - среднее квадратическое отклонение, тогда дисперсия равна

 Выясним геометрический смысл параметров распределения а и s. Для этого исследуем поведение функции f(x). График функции f(x) называется нормальной кривой.

Рассмотрим свойства функции f(x):

1°. Областью определения функции f(x) является вся числовая ось.

2°. Функция f{x) может принимать только положительные значения, т. е. f(x}>0.

3°. Предел функции f(x) при неограниченном возрастании |х| равен нулю, т. е. ось ОХ является горизонтальной асимптотой графика функции.

      4°. Функция f{x) имеет в точке х = a  максимум, равный

5°. График функции f(x) симметричен относительно прямой х = а.

6°. Нормальная кривая в точках х = а +s  имеет перегиб,

 

 На основании доказанных свойств построим график плотности нормального распределения f(x).

К ак видно из рисунка, нормальная кривая имеет колоколообразную форму. Эта форма является отличительной чертой нормального распределения. Иногда нормальную кривую называют кривой Гаусса.

Равномерное.

Построим функцию распределения F(x), для чего найдем выражение F(x) на интервале [a, b]:

Графики функции F(x) имеет вид:

Найдем числовые характеристики.

Найдем теперь вероятность попадания значения случайной величины, имеющей равномерное распределение, на интервал (a,b), принадлежащий целиком отрезку [a, b]:

Геометрически эта вероятность представляет  собой  площадь заштрихованного прямоугольника. Числа а и b называются параметрами распределения и однозначно определяют равномерное распределение.