10. Схема независимых испытаний Бернулли. Бин.Распр.

Схемой Бернулли  называется последовательность независимых испытаний, в каждом из которых возможны лишь два исхода  —  «успех» и «неудача», при этом «успех» в одном испытании происходит с вероятностью , «неудача»  —  с вероятностью . Теорема 10 (формула Бернулли). Обозначим через число успехов в испытаниях схемы Бернулли. Тогда для любого В другом виде: Доказательство. Событие означает, что в испытаниях схемы Бернулли произошло ровно успехов. Рассмотрим один из благоприятствующих событию элементарных исходов: . Здесь буквами «у» и «н» обозначены, соответственно, успешный и неудачный результаты испытаний. Поскольку испытания независимы, вероятность такого элементарного исхода (первые испытаний завершились успехом, остальные неудачей) равна . Другие благоприятствующие событию элементарные исходы отличаются от рассмотренного выше лишь расположением успехов на местах. Есть ровно способов расположить успехов на местах. Поэтому событие состоит из элементарных исходов, вероятность каждого из которых равна .

Биномиа́льное распределе́ние - распределение количества «успехов» в последовательности из независимых случайных экспериментов, таких что вероятность «успеха» в каждом из них постоянна и равна .

Пусть  — конечная последовательность независимых случайных величин с распределением Бернулли, то есть

Построим случайную величину : .

Тогда , число единиц (успехов) в последовательности , имеет биномиальный закон с степенями свободы и вероятностью «успеха» . Пишем: . Её функция вероятности задаётся формулой:

где  — биномиальный коэффициент.

Функция распределения биномиального распределения может быть записана (в виде суммы): .

11. Увеличение числа испытаний. Закон Пуассона.

Распределение Пуассона - вероятностное распределение дискретного типа, моделирует случайную величину, представляющую собой число событий, произошедших за фиксированное время, при условии, что данные события происходят с некоторой фиксированной средней интенсивностью и независимо друг от друга.

Событие называются редкими, когда вероятность события р или противоположного ему q близка к нулю. При большом числе испытаний (n), но небольшой величине произведения числа испытаний на вероятность (np),

которое  меньше 10, вероятности полученные по формуле Лапласа

недостаточно близки к их истинным значениям. Тогда применяют другую асимптотическую формулу  Пуассона.

Теорема. Если вероятность р наступления события А в каждом испытании постоянно близка к нулю, число независимых испытаний n достаточно велико, произведение np = λ, то вероятность Р_n(m) того, что в n независимых испытаниях события А наступит m раз, приближенно равна , т.е.

 Свойства распределения Пуассона:

Сумма независимых пуассоновских случайных величин также имеет распределение Пуассона. Пусть . Тогда .

Пусть , и . Тогда условное распределение при условии, что , биномиально. Более точно: .

12. Рост числа успехов? Локальная теорема Муавра-Лапласа

Теорема Муавра - Лапласа -одна из предельных теорем теории вероятностей, установлена Лапласом в 1812 году. Если при каждом из n независимых испытаний вероятность появления некоторого случайного события Е равна р (0<р<1) и m — число испытаний, в которых Е фактически наступает, то вероятность неравенства близка (при больших n) к значению интеграла Лапласа.

При рассмотрении количества появлений события в испытаниях Бернулли чаще всего нужно найти вероятность того, что заключено между некоторыми значениями a и . Так как при достаточно больших n промежуток содержит большое число единиц, то непосредственное использование биномиального распределения

требует громоздких вычислений, так как нужно суммировать большое число определённых по этой формуле вероятностей.

Поэтому используют асимптотическое выражение для биномиального распределения при условии, что фиксированно, а . Теорема Муавра-Лапласа утверждает, что таким асимптотическим выражением для биномиального распределения является нормальная функция.

Если в схеме Бернулли n стремится к бесконечности, p (0 < p < 1) постоянно, величина ограничена равномерно по m и n , то

где , c > 0, c — постоянная.