4.Пространство элементарных исходов и алгебра случайных событий.

Пространство элементарных событий — множество всех различных исходов случайного эксперимента, из которых в эксперименте происходит ровно один. Элементы этого множества называют элементарными исходами и обозначают буквой («омега») с индексами или без.

Событие называется достоверным, если оно происходит при любом испытании. Достоверное событие обозначается символом Ω.Событие называется невозможным, если оно не происходит при любом испытании. Невозможное событие обозначим символом Ø.

Алгебра событий (в теории вероятностей) — алгебра подмножеств пространства элементарных событий , элементами которого служат элементарные события.

Суммой А+В двух событий А и В называют событие, состоящее в том, что произошло хотя бы одно из событий А и В. Произведением АВ событий А и В называется событие, состоящее в том, что произошло и событие А, и событие В.События А и В называются несовместными событиями, если не существует элементарных исходов, принадлежащих подмножествам А и В одновременно. Другими словами, события А и В несовместны, если их одновременное появление невозможно, т.е. . В противном случае события и называют совместными.

Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(АВ) – если А и В совместны.

Для несовместных событий Р(А+В)=Р(А)+Р(В)

А\В - _Iпринадлежит А и не принадлежит В

Противоположным к событию А называется событие , состоящее в том, что событие А в результате эксперимента не произошло. Иначе говоря , есть множество, содержащее элементарные исходы, не входящие в А.

Р( )=1-Р(А).

Правила:

1)А*А=А, 2) А+А=А, 3) А* = , 4) А+В с черточкой на верху=А черточка на верху*В черточка наверху, 5) (А+В)*С=АС+ВС, 6)А+В=А+В , 7) В= В+АВ

Р(А+В)=Р(А)+Р(В ); Р(В)=Р( В)+Р(АВ).

5. Достоверное событие. Невозможное событие. Классическая вероятность.

1.Достоверным называется событие, которое обязательно происходит в результате эксперимента,т.е.единственноесобытие, ключающее все элементарные исходы - событие .

Невозможным называется событие, которое не может произойти в результате эксперимента, т.е. событие, не содержащее ни одного элементарного исхода («пустое множество » ). Заметим, что всегда

Предположим, что мы имеем дело с пространством элементарных исходов, состоящим из конечного числа N элементов: Вероятностью события А называется отношение числа исходов опыта, благоприятных этому событию, к числу возможных исходов:

Р(А)=m/n - классическое определение вероятности. Вероятность достоверного события равна единице. Доказательство. Так как достоверное событие всегда происходит в результате опыта, то все исходы этого опыта являются для него благоприятными, то есть т = п, следовательно, Р(А) = 1.

Вероятность невозможного события равна нулю. Доказательство. Для невозможного события ни один исход опыта не является благоприятным, поэтому m = 0 и р(А) = 0.

6. Полная группа событий. Несовместные и независимые события.

По́лной гру́ппой собы́тий в теории вероятностей называется система случайных событий такая, что в результате произведенного случайного эксперимента непременно произойдет одно из них. Сумма вероятностей всех событий в группе всегда равна 1.

События , образующие полную группу событий, часто называют гипотезами. Полная система несовместных событий Н_l*H_m= lнеравно m. (H_l)=1.

Два события называются независимыми, если вероятность появления одного из них не зависит от того, появилось или не появилось другое событие. Несколько событий называются взаимно независимыми (или независимыми в совокупности), если каждое из них и любая комбинация, составленная из остальных (части или всех) событий, являются независимыми событиями.

В теории вероятностей несколько событий называются несовместимыми, если никакие два из них не могут появиться одновременно в результате однократного испытания случайного эксперимента.