26. Выборочн.Средн. И выборочн. Диспер. Оценки

Величины, вычисляемые по выборке,

и

называются выборочным средним и выборочной дисперсией.

Точечная оценка – определяемая одним числом. - несмещенная, если . Если  - это приводит к систематич.ошибкам. Стат.оценка должна быть несмещенной, эффективной и состоятельной. Генеральная средняя - -  это ср.арифмет.знач. признака ген. совок-ти.  - ,если х₁,х₂,...х_n различны. Если х₁,х₂,...х_n имеют соотв. частоты N₁ N₂ …N_n , то  Выборочная средняя – ср.арифметическая признака выборочной совок-ти , если значение признака х₁,х₂,...х_n объема n имеют соотв.частоты n₁n_2…n_k , то .

В мастере функций Excel имеется ряд специальных функций, предназначенных для вычисления выборочных характеристик.

Функция СРЗНАЧ вычисляет среднее арифметическое из нескольких массивов (аргументов) чисел. Аргументы число1, число2, ... — это от 1 до 30 массивов для которых вычисляется среднее.

Функция МЕДИАНА позволяет получать медиану заданной выборки. Медиана - это элемент выборки, число элементов выборки со значениями больше которого и меньше которого равно.

Функция МОДА вычисляет наиболее часто встречающееся значение в выборке.

Функция ДИСП позволяет оценить дисперсию по выборочным данным.

Функция СТАНДОТКЛОН вычисляет стандартное отклонение.

Функция ЭКСЦЕСС вычисляет оценку эксцесса по выборочным данным.

Функция СКОС позволяет оценить асимметрию выборочного распределения.

Функция КВАРТИЛЬ вычисляет квартили распределения. Функция имеет формат КВАРТИЛЬ(массив, значение), где массив – интервал ячеек, содержащих значения СВ; значение определяет какая квартиль должна быть найдена (0 – минимальное значение, 1 – нижняя квартиль, 2 – медиана, 3 – верхняя квартиль, 4 – максимальное значение распределения).

27. Метод максимального правдоподобия. Моментов.

Метод максимального правдоподобия в математической статистике - метод оценивания неизвестного параметра путём максимизации функции правдоподобия^[1]. Основан на предположении о том, что вся информация о статистической выборке содержится в функции правдоподобия.

Сущность метода

Пусть есть выборка из распределения , где  — неизвестные параметры. Пусть  — функция правдоподобия, где . Точечная оценка

называется оце́нкой максима́льного правдоподо́бия параметра . Таким образом оценка максимального правдоподобия — это такая оценка, которая максимизирует функцию правдоподобия при фиксированной реализации выборки.

Часто вместо функции правдоподобия используют логарифмическую функцию правдоподобия . Так как функция монотонно возрастает на всей области определения, максимум любой функции является максимумом функции , и наоборот. Таким образом ,

Если функция правдоподобия дифференцируема, то необходимое условие экстремума - равенство нулю ее градиента:

Достаточное условие экстремума может быть сформулировано как отрицательная определенность гессиана - матрицы вторых производных:

Важное значение для оценки свойств оценок метода максимального правдоподобия играет так называемая информационная матрица, равная по определению:

В оптимальной точке информационная матрица совпадает с математическим ожиданием гессиана, взятым со знаком минус:

Ме́тод моме́нтов — метод оценки неизвестных параметров распределений в математической статистике и эконометрике, основанный на предполагаемых свойствах моментов(Пирсон, 1894 г.). Идея метода заключается в замене истинных соотношений выборочными аналогами.

Сущность метода

Пусть случайная величина (вектор, матрица и т. д.) X имеет некоторое распределение , зависящее от параметров . Пусть для функций (называемых моментами или моментными функциями) , интегрируемых по мере , выполнены условия на моменты

Пусть  — выборка случайной величины X. Предполагается, что соотношения аналогичные условиям на моменты выполнены и для выборки, а именно вместо математического ожидания в условиях на моменты необходимо использовать выборочные средние:

причем в данном представлении (когда справа от равенства — ноль) достаточно использовать просто суммы вместо средних.

Оценки, получаемые из решения этой системы уравнений (выборочных условий на моменты), называются оценками метода моментов.

ЭКСЕЛЬ?