Необходимость

Пусть система совместна. Тогда существуют числа   такие, что  . Следовательно, столбец   является линейной комбинацией столбцов   матрицы  . Из того, что ранг матрицы не изменится, если из системы его строк (столбцов) вычеркнуть или приписать строку (столбец), которая является линейной комбинацией других строк (столбцов) следует, что  .

Достаточность

Пусть  . Возьмем в матрице   какой-нибудь базисный минор. Так как  , то он же и будет базисным минором и матрицы  . Тогда, согласно теореме о базисном миноре, последний столбец матрицы   будет линейной комбинацией базисных столбцов, то есть столбцов матрицы  . Следовательно, столбец свободных членов системы является линейной комбинацией столбцов матрицы  .

Следствие 1. Однородная система всегда совместна (это утверждение вытекает также из того, что однородная система имеет тривиальное решение ).

Структура общего решения неоднородной системы уравнений. Алгоритм метода Гаусса построения общего решения линейной алгебраической системы уравнений

Рассмотрим неоднородную систему (1). Сначала заметим, что разность двух ее решений будет решением соответствующей однородной системы Действительно, имеем верные равенства и поэтому т.е. разность является решением однородной системы (2). Отсюда следует, что вектор где фиксированное решение неоднородной системы , а общее решение соответствующей однородной системы будет решением неоднородной системы (1) при любых значениях постоянных Если теперь любое другое решение неоднородной системы , то его можно представить в виде Действительно, разность является решением однородной системы а, значит, по теореме 1 существуют постоянные такие, что имеет место равенство

ч.т.д. Мы получили следующий результат.

Теорема 2. Общее решение неоднородной системы имеет вид

где частное решение неоднородной системы , фундаментальная система решений соответствующей однородной системы а произвольные постоянные.

Теперь опишем алгоритм построения общего решения неоднородной системы (1).

Алгоритм метода Гаусса

1. По системе (1) строим расширенную матрицу

2. С помощью элементарных преобразований строк приводим матрицу к ступенчатому виду

3. По матрице восстанавливаем систему уравнений; при этом уравнения, соответствующие нулевым строкам матрицы не выписываем.

4. Неизвестные, коэффициентами которых являются опорные элементы матрицы объявляем базисными (закрепленными), оставляем их в левых частях уравнений, а остальные неизвестные объявляем свободными и переносим их в правые части уравнений.

5. Придавая свободным неизвестным значения произвольных постоянных, решаем полученную систему уравнений обратным ходом и находим базисные неизвестные и , наконец, записываем общее решение исходной системы уравнений в виде (4).

Билет 25 Определение линейной зависимости системы векторов

Система векторов A₁, A₂,...,A_n называется линейно зависимой, если существует ненулевой набор чисел λ_1, λ₂,...,λ_n,при котором линейная комбинация векторов λ₁*A₁+λ₂*A₂+...+λ_n*A_n равна нулевому вектору, то есть система уравнений: A₁x₁+A₂x₂+...+A_nx_n =Θ имеет ненулевое решение. Набор чисел λ_1, λ₂,...,λ_n является ненулевым, если хотя бы одно из чисел λ_1, λ₂,...,λ_n отлично от нуля.