2. Формула Ньютона-Лейбница

Теорема 2. Пусть функция непрерывна на отрезке и её первообразная на отрезке Тогда

Доказательство. Так как первообразная функции на отрезке , то существует постоянная такая, что Положим в этом равенстве будем иметь Поэтому

Полагая здесь получаем формулу (2). Теорема доказана.

3. Замена переменных и интегрирование по частям в определенном интеграле

С помощью формулы Ньютона-Лейбница нетрудно доказать следующие утверждения.

Теорема 3 (см. Р7). Пусть функция непрерывна на отрезке а функция непрерывно-дифференцируема на отрезке таком, что причем Тогда имеет место формула замены переменных в определенном интеграле:

Теорема 4. Пусть функции непрерывно-дифференцируемы на отрезке Тогда имеет место формула интегрирования по частям в определенном интеграле:

Билет 14 Несобственные интегралы

Сначала рассмотрим интегралы с бесконечными пределами.

Определение 1. Пусть функция интегрируема на любом отрезке Тогда если существует конечный предел то говорят, что интеграл сходится. При этом пишут Если же указанный предел не существует или равен бесконечности, то говорят, что интеграл расходится.

Аналогично определяются интегралы

( здесь произвольная конечная точка). Эти интегралы называют несобственными интегралами первого рода. Их геометрический смысл ясен из рис. 11, где площадь

Сначала покажем, что эталонный интеграл

Действительно, имеем

Переходя здесь к пределу при получаем наше утверждение. С помощью эталонного интеграла можно исследовать сходимость других несобственных интегралов.

Теорема сравнения 1. Пусть функции и интегрируемы на произвольном отрезке и имеют место неравенства Тогда если сходится интеграл то и сходится интеграл Если же интеграл расходится, то и расходится интеграл

Теорема сравнения 2. Пусть функции и положительны и интегрируемы на произвольном отрезке Пусть, кроме того, существует предел Тогда интегралы и сходятся или расходятся одновременно.

Замечание 1. При применении этих теорем часто используется таблица эквивалентных бесконечно малых:

Если при то при верны следующие соотношения:

const.

Билет 15 3. Вычисление длины дуги

П усть на плоскости задана некоторая незамкнутая кривая (см. рис. Р16). Произведем разбиение

этой дуги на частичные дуги в каждую из которых впишем хорду . Тогда получим ломанную , вписанную в дугу . Пусть длина хорды

Определение 3. За длину дуги кривой принимают предел, к которому стремится периметр ломанной, вписанной в эту дугу, при стремлении длины максимального звена этой ломанной к нулю, т. е. Если кривая замкнутая, то разбивают ее двумя несовпадающими точками на две незамкнутые кривые и и тогда

дл. дл. дл.

Теорема 4. Если дуга задана уравнением где функция непрерывно дифференцируема на отрезке то ее длина вычисляется по формуле

Доказательство. Произведем разбиение отрезка на частичные отрезки Это разбиение порождает разбиение дуги частичные дуги По определению 3 имеем Длина хорды равна (см. рис. Р17) величине

По теореме Лагранжа существует точка такая, что

поэтому Учитывая это, получаем, что

Теорема доказана.

Замечание 2. Величина называется дифференциалом дуги Учитывая, что её можно записать в виде Мы получили теорему Пифагора для криволинейного треугольника с катетами и “гипотенузой” Теперь формулу (1) для вычисления длины дуги можно записать кратко так: Эта форма записи длины дуги особенно удобна, если дуга задана параметрически или в полярной форме. Из нее можно получить следующие утверждения.

Теорема 5. Если дуга задана параметрически уравнениями где функции непрерывно дифференцируемы на отрезке то ее длина вычисляется по формуле

Если дуга задана в полярных координатах уравнением где функция непрерывно дифференцируема на отрезке то её длина вычисляется по формуле

Действительно, если задана в параметрической форме, то

Рекомендуем получить формулу длины дуги в полярных координатах самостоятельно.

Например, если дуга задана уравнением то её длина равна