VM2_1

 Определение ряда и его сходимость

Определение 1. Пусть задана бесконечная числовая последовательность u₁, u₂,…,u_n,…. Выражение

  (1)

называется числовым рядом. Числа u₁, u₂,…,u_n,… называются первым, вторым, …, n-м, … членами ряда. u_n также называется общим членом ряда.

Сумма конечного числа n первых членов ряда называется n-ой частичной суммой ряда:

 Если существует конечный предел   то он называется суммой ряда (1), а ряд (1) называется сходящимся. Если   не существует или равен бесконечности, то ряд (1) называется расходящимся и суммы не имеет.

Ряд, полученный отбрасыванием от исходного n первых членов, называется n-м остатком ряда.

Обозначение:

Все члены, кроме тех, что входят в n-й остаток ряда, в сумме дают т. н. n-ю частичную сумму ряда.

Необходимое условие сходимости

Для сходимости ряда   необходимо, чтобы последовательность   была бесконечно малой.

Док-во: По условию последовательность  , а следовательно, и её остаток   имеют общий конечный предел  , но   и поэтому  , что равносильно бесконечной малости  .

• Линейная комбинация рядов

Если ряды   и   сходятся, то сходится и ряд   (α, β — постоянные), при этом

Билет №3

  Если a_n ≥ 0 (n = 1, 2, 3, ... ), то ряд a₁ + a₂ + a₃ + ... называется положительным. В том случае, когда при всех n оказывается a_n > 0, будем называть ряд строго положительным.

     Положительные ряды обладают многими свойствами, сближающими их с обычными суммами конечного числа слагаемых.

     Легко видеть, что частичная сумма

S_n = a₁ + a₂ + ... + a_n

положительного ряда возрастает (может быть, не строго) с увеличением n. Так как всякая возрастающая числовая последовательность имеет конечный или бесконечный предел (причем члены последовательности не превосходят этого предела), то для любого положительного ряда существует предел

     Этот предел будет конечным или бесконечным, смотря по тому, ограничено сверху или нет множество частичных сумм {S_n}. Таким образом, имеет место

     Теорема 1. Положительный ряд сходится тогда и только тогда, когда множество его частичных сумм ограничено сверху.

  Разумеется, у ряда не положительного ограниченность множества частичных сумм не обеспечивает сходимости, как это видно из примера ряда 1 + (-1) + 1 + (-1) + ...

  Отметим еще, что частичные суммы сходящегося положительного ряда не превосходят его суммы.

Сходимость или расходимость ряда устанавливается с помощью достаточных признаков.

Признаки сравнения рядов

Даны два ряда   и   − такие, что   для всех n. Тогда справедливы следующие признаки:

Если   сходится, то   также сходится;

Если   расходится, то   также расходится.

Предельные признаки сравнения рядов

Пусть даны два ряда   и  , у которых члены a_n и b_n положительны для всех n. Тогда справедливы следующие предельные признаки:

• Если  , то оба ряда   и   либо сходятся, либо расходятся;

• Если  , то ряд   сходится, если сходится ряд  ;

• Если  , то ряд   расходится, если расходится ряд  .

Так называемый обобщенный гармонический ряд   сходится при p > 1 и расходится при 0 < p ≤ 1. 

Билет №4

Ряд называется знакочередующимся, если его члены попеременно принимают значения противоположных знаков, т. е.:

Признак Лейбница — признак сходимости знакочередующегося ряда.

Пусть для ряда

выполняются следующие условия:

1.  (знакочередование)

2.  (монотонное убывание {a_n})

3. .

Тогда этот ряд сходится. Ряды, удовлетворяющие признаку Лейбница, называются рядами Лейбница.

Из доказательства признака Лейбница следует, что сумма знакопеременного сходящегося ряда меньше по модулю первого члена ряда. Поскольку любой остаток ряда r_n является также рядом Лейбница, то для него справедливо:

.

Ряд абсолютно сходится, если сходится ряд, составленный из модулей членов этого ряда.

Если ряд сходится, но не является абсолютно сходящимся, то он называется условно сходящимся.

абсолютная сходимость «сильнее» «простой» сходимости.

Билет №5.

Определение. Ряд, члены которого являются функциями, называется функциональным рядом. Его обозначают:

Определение. Если при   ряд (1) сходится, то   называется точкой сходимости ряда (1).

Определение. Множество всех значений  , при которых функциональный ряд сходится, называется областью сходимости этого ряда.

Очевидно, что в области сходимости функционального ряда его сумма является функцией от  . Будем ее обозначать  .

Признак Вейерштрасса.

Теорема. Если для функционального ряда  (1) можно указать такой сходящийся числовой ряд  , что для всех n и для всех вып-ся усл-е  (2), то ряд (1) сх-ся абсолютно и равномерно на мн-ве Е.

Док-во

По условию (2) для любого n , любого p  и для каждого  выполняется нер-во:  (3). Из сходимости ряда  следует что для него вып. усл-е Коши:  n p < (4).

Из (3) и (4) следует, что для ряда (1) вып. Условие Коши на множестве Е, в силу этого по критерию Коши — ряд сходится равномерно на множестве Е. Абсолютная сходимость ряда для каждого  следует из правой части (3).

Следствие: Если сходится ряд  , где  =sup ,  , то ряд (2) сходится абсолютно и равномерно на множестве Е.

Теорема. Если все члены ряда  (1) - непрерывные на [a;b] ф-ции, а ряд (1) сх-ся равномерно на [a;b], то его сумма S(x) также непрерывна на отрезке [a;b].

Т е о р е м а  1. Пусть на отрезке   задана последовательность   (комплекснозначных) непрерывных функций, сходящаяся к функции  . Если сходимость равномерна на  , то

                         (1)

равномерно на  . В частности (при  ),

.                        (2)

Т е о р е м а  2. Равномерно сходящийся на отрезке   ряд (комплекснозначных) непрерывных функций

                    (3)

можно почленно интегрировать  :

.          (4)

Полученный при этом ряд (4) равномерно сходится на  .

В частности,

.              (5)

Дифференцирование походу тоже самое что и интегрирование только наоборот.

,                   (8)

.         (9)

6.