5. Нормальное уравнение плоскости. Расстояние от точки до плоскости

Пусть дано общее уравнение плоскости

Определение 1. Число где знак берется противоположным знаку

свободного члена называется нормирующим множителем плоскости Уравнение

называется нормальным уравнением плоскости

Нетрудно доказать следующее утверждение.

Теорема 2. Если фиксированная точка, то её расстояние до плоскости вычисляется по формуле т.е. равно по модулю результату подстановки координат точки в левую часть нормального уравнения плоскости

Пример 1. Найти расстояние от точки до плоскости

Решение. Нормирующим множителем для данной плоскости будет

Он противоположен по знаку свободному члену Значит, нормальное уравнение плоскости будет таким: а расстояние от точки до плоскости будет равным

Замечание 2. Величина называется отклонением точки от плоскости Можно показать, что если то точка и начало координат находятся по одну сторону от плоскости если же то точки и находятся по разные стороны от плоскости если же то Заметим также, что часто нормальное уравнение плоскости записывают в виде

где Тогда направляющие косинусы нормали к плоскости.

Билет 18 . Прямая в пространстве

Прямой в пространстве называют линию пересечения двух непараллельных плоскостей. Значит, прямая в пространстве задается системой уравнений

при условии отсутствия пропорциональности между коэффициентами линейных уравнений, входящих в систему (3). Однако наиболее распространенным уравнением прямой являются каноническое уравнение. Выведем его

Определение 2. Вектор параллельный прямой называется направляющим вектором этой прямой.

Теорема 3. Если фиксированная точка прямой а направляющий вектор этой прямой, то любая точка связана уравнением

Уравнение (4) называют каноническим уравнением прямой

Доказательство. Вектор коллинеарен вектору = а, значит, их координаты пропорциональны, т.е. имеют место равенства (4). Если же точка не лежит на прямой то векторы

и не коллинеарны, поэтому равенства (4) не имеют места. Теорема доказана.

Если приравнять равные отношения (4) коэффициенту пропорциональности то получим уравнения

задающие прямую параметрически (здесь параметр). Изменяя мы получим все точки

прямой (например, при получает точку ).

Как получить из системы уравнений (3) канонические уравнения прямой ? Пусть произвольная точка, удовлетворяющая системе (3) (ее можно получить, например, фиксируя произвольным образом координату , а затем решить полученную систему уравнений с двумя неизвестными). Далее, векторы и перпендикулярно соответствующим плоскостям в (3), а, значит, векторное призведение параллельно их общей прямой – линии их пересечения. Отсюда следует, что направляющий вектор прямой . Поскольку

то каноническим уравнением прямой будет уравнение

Следующая система уравнений является параметрическими уравнениями прямой:

                               ,    ,                             (7)

где   – координаты произвольной фиксированной точки данной прямой,   – соответствующие координаты произвольного направляющего вектора данной прямой, t – параметр.

   Доказательство. В соответствии с определением уравнения любого множества точек координатного пространства, мы должны доказать, что уравнениям (7) удовлетворяют все точки прямой L и, с другой стороны, не удовлетворяют координаты точки не лежащей на прямой.

   Пусть произвольная точка  . Тогда векторы   и   являются по определению коллинеарными и по теореме о коллинеарности двух векторов следует, что один из них линейно выражается через другой, т.е. найдется такое число  , что  . Из равенства векторов   и   следует равенство их координат:

,  ,  , ч.т.д.

Билет 19 Матрицы и действия над ними. Матрицы специального вида

Определение 1 Матрицей размера называют таблицу чисел

состоящую из строк и столбцов При этом числа² называются элементами матрицы Матрицу называют квадратной матрицей размерности если число ее строк совпадает с числом столбцов Часто матрицу обозначают так: Желая указать размеры матрицы, будем писать а саму матрицу будем называть матрицей.

Действия сложения и вычитания над матрицами одинакового размера определяются равенствами:

(т.е. при сложении или вычитании матриц складываются (соответственно вычитаются) их элементы, находящиеся на одинаковых местах).

Умножение матрицы на число определяется равенством

(т.е. при умножении матрицы на число надо каждый элемент этой матрицыа умножить на это число).

Матрицы можно умножать друг на друга только в том случае, когда их размеры согласованы, т.е., когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы:

Сначала определяют произведение вектор-строки на

вектор-столбец (имеющих одинаковое число компонент):

Затем определяют

в) произведением матриц с согласованными размерами и называется матрица й элемент которой получен умножением й строки матрицы на й столбец матрицы

Например,

Часто встречаются матрицы следующего специального вида:

1. Единичная матрица:

2. Диагональная матрица: (здесь и в матрице все элементы вне главной диагонали равны нулю).

3.Треугольная матрица:

4. Матрица трапециевидной формы:

При решении линейных систем уравнений будут встречаться матрицы ступенчатого вида. Чтобы описать их, введем понятие опорного элемента строки. Это не равный нулю первый слева элемент строки. Например, в строке элемент (-5) является опорным (здесь и ниже в рамке указан опорный элемент).

Определение 2. Матрица называется матрицей ступенчатого вида, если в ней:

а) опорный элемент каждой строки находится правее опорного элемента предыдущей строки;

б) если в матрице есть нулевая строка, то и все следующие ее строки также нулевые.

Билет 20 Определители матрицы и их свойства

Мы имели уже дело с определителями второго и третьего порядков на предыдущих лекциях. Дадим теперь общее понятие определителя порядка по индукции. Любой квадратной матрице вида

ставится в соответствие число

определяемое ниже (см. определение 5) и называемое определителем (или детерминантом) матрицы Теперь введем понятие минора матрицы.

Определение 3. В матрице на пересечении любых строк и столбцов стоит матрица порядка . Определитель матрицы называется минором го порядка матрицы

Ясно, таких миноров может быть несколько. Пусть теперь матрица является квадратной.

Определение 4. Минор порядка, полученный из матрицы после вычеркивания её строки и го столбца, называется дополнительным минором элемента этой матрицы (обозначение: ). Число называется алгебраическим дополнением элемента матрицы .

Определение 5. Пусть в квадратной матрице выделена произвольная строка Определителем матрицы называется число

(т.е. сумма произведений элементов й строки на их алгебраические дополнения). Часто определитель матрицы обозначают так:

Как мы уже отметили выше, определитель порядка вычисляется по индукции: если известно правило вычисления определителей порядка, то определитель порядка вычисляется по формуле (1). Ранее было даны правила вычисления определителей второго и третьего порядков, поэтому по формуле (1) можно вычислить определители четвертого порядка и выше. Например,

Перечислим основные свойства определителей. Сначала заметим, что матрица полученная из матрицы заменой строк на столбцы с теми же номерами, называется транспонированной к матрицей. Обозначение:

1) При транспонировании матрицы ее определитель не изменяется:

2) При перестановки каких-либо двух строк (или двух столбцов) матрицы ее определитель изменяет знак на противоположный.

3) Определитель, у которого есть нулевая строка (или нулевой столбец) равен нулю.

4) Определитель, у которого элементы одной строки (или столбца) пропорциональны элементам другой строки (или столбца ) равен нулю.

5) Общий множитель элементов любой строки (или столбца) можно выносить за знак определителя :

6) Если к какой-нибудь строке определителя прибавить другую строку, умноженную на любое число то определитель не изменится. Тоже верно и для столбцов определителя.

7) (сумма определителей)

8) Определитель произведения двух квадратных матриц одной и той же размерности равен произведению определителей этих матриц:

Доказательство всех этих свойств проводится с использованием определения 5. Докажем, например, свойство 5. Имеем

Билет 21 Линейные системы уравнений с квадратной матрицей. Правило Крамера

Итак, рассмотрим систему линейных уравнений

с неизвестными Матрица этой системы квадратная, поэтому можно вычислить ее определитель (называемый главным определителем системы (1)). Ниже будут участвовать и другие определители, относящиеся к системе (1). Введем их. Если в определителе выбросить й столбец и заменить его на столбец свободных членов, то получим определитель

называемый м вспомогательным определителем Если определитель то для матрицы существует обратная матрица и эта матрица единственна. С помощью неё можно решить систему (1). Действительно, умножая обе части последнего равенства (1) на будем иметь Мы доказали следующее утверждение.

Теорема 1. Если то система (1) имеет единственное решение

Теорема Крамера. Пусть в системе (1) хотя бы один из ее коэффициентов не равен нулю. Тогда для того чтобы система (1) имела единственное решение, необходимо и достаточно, чтобы её главный определитель был не равен нулю. В этом случае решение системы (1) даётся формулами Крамера:

Если и хотя бы один из определителей то система (1) решений не имеет. Если все , то система (1) либо не имеет решений вообще, либо имеет их бесчисленное множество.

Доказательство проведем в случае для системы

с двумя неизвестными Не умаляя общности, можно считать, что Из первого уравнения (3) находим и подставляем во второе уравнение; будем иметь

Пусть теперь тогда , поэтому

Мы показали, что в случае исходная система (3) равносильна системе двух уравнений поэтому если то система (3) имеет единственное решение Теорема доказана.

Билет 22 Элементарные преобразования и приведение матриц к ступенчатому виду

К элементарным преобразованиям строк матрицы относятся следующие преобразования:

1) перемена строк местами; 2) умножение элементов любой строки на не равное нулю число; 3) прибавление к любой строке матрицы линейной комбинации других ее строк.

Аналогичные преобразования над столбцами называются элементарными преобразованиями столбцов матрицы.

Имеют место следующие утверждения.

Теорема 1.Элементарные преобразования строк (или столбцов) матрицы не изменяют её ранга. Элементарными преобразованиями строк всегда можно привести матрицу к ступенчатому виду (а дополнительными элементарными преобразованиями ее столбцов можно привести матрицу к трапециевидной форме).

Например,

Здесь мы проделали следующие операции:

1) Ко второй строке матрицы прибавили первую строку, умноженную на (-2); от третьей строки исходной матрицы отняли её вторую строку; в итоге получили матрицу

2) К третьей строке матрицы прибавили ее вторую строку; получили матрицу ступенчатого вида (трапециевидной формы).

Алгоритм приведения матрицы к ступенчатому виду

1. В первом столбце выбрать элемент, отличный от нуля (ведущий элемент). Строку с ведущим элементом (ведущая строка), если она не первая, переставить на место первой строки (преобразование I типа). Если в первом столбце нет ведущего (все элементы равны нулю), то исключаем этот столбец, и продолжаем поиск ведущего элемента в оставшейся части матрицы. Преобразования заканчиваются, если исключены все столбцы или в оставшейся части матрицы все элементы нулевые.

2. Разделить все элементы ведущей строки на ведущий элемент (преобразование II типа). Если ведущая строка последняя, то на этом преобразования следует закончить.

3. К каждой строке, расположенной ниже ведущей, прибавить ведущую строку, умноженную соответственно на такое число, чтобы элементы, стоящие под ведущим оказались равными нулю (преобразование III типа).

4. Исключив из рассмотрения строку и столбец, на пересечении которых стоит ведущий элемент, перейти к пункту 1, в котором все описанные действия применяются к оставшейся части матрицы.

Определение 6. Строки называются линейно зависимыми, если существуют числа не равные нулю одновременно, такие, что имеет место равенство

Если же равенство (2) (где числа) имеет место тогда и только тогда, когда все числа одновременно равны нулю ( ), то строки называются линейно независимыми. Аналогичные понятия вводятся и для столбцов.

Определение 7. Рангом произвольной матрицы (размера ) называется максимальное число линейно независимых столбцов этой матрицы. Обозначение:

Пусть дана произвольная матрица . Будем последовательно рассматривать в ней миноры первого, второго, третьего и т.д. порядков.

Определение 8. Базисным минором матрицы называется такой отличный от нуля минор го порядка, что все миноры матрицы порядка выше го равны нулю.

Нетрудно доказать следующее утверждение.

Теорема о базисном миноре. Ранг матрицы равен порядку базисного минора этой матрицы.

Отсюда, в частности, следует, что при транспонировании матрицы ее ранг не изменяется, поэтому ранг матрицы равен также максимальному числу ее линейно независимых строк. Из теоремы о базисном миноре также вытекает, что ранг матрицы ступенчатого вида равен числу её опорных элементов.

23 Билет Системой уравнений с неизвестными называется система вида

где неизвестные, известные числа (коэффициенты системы), Вводя обозначения

можно записать систему (1) в краткой форме Её называют матричной формой записи системы (1). При этом столбец называют столбцом неизвестных, матрицу матрицей системы (1), а столбец столбцом свободных членов (или правых частей) системы (1). Если столбец свободных членов то система (1) называется однородной системой; если то (1) называется неоднородной системой.

Определение 1. Решением системы (1) называется совокупность неизвестных которая, будучи подставленная в уравнения (1), обращает их в верные числовые равенства (другое определение: решением системы (1) называется вектор-столбец обращающий систему в истинное векторное равенство ). При этом если система (1) имеет хотя бы одно решение, то она называется совместной (или разрешимой). Если (1) не имеет решений, то она называется несовместной (или неразрешимой). Система, имеющая только одно решение, называется определённой системой. Система, имеющая более одного решений, называется неопределённой системой.

Теорема 1. Множество всех решений однородной системы (2) (состоящей из уравнений с неизвестными) образует линейное пространство размерности

При этом любое решение однородной системы (2) имеет вид

где базис пространства решений (его называют фундаментальной систе-

мой решений однородной системы (2)), а некоторые постоянные.

Заметим, что линейная комбинация где произвольные постоянные, фундаментальная система решений системы (2),называется общим решением этой системы и обозначается

Структура общего решения однородной системы уравнений

Теорема 1. Множество всех решений однородной системы (2) (состоящей из уравнений с неизвестными) образует линейное пространство размерности

При этом любое решение однородной системы (2) имеет вид

где базис пространства решений (его называют фундаментальной систе-

мой решений однородной системы (2)), а некоторые постоянные.

Заметим, что линейная комбинация где произвольные постоянные, фундаментальная система решений системы (2),называется общим решением этой системы и обозначается

Условие нетривиальной совместимости (наличия решений):

 - найдутся однозначно.   - можно задать любыми.   только тривиальное решение.

Число r ненулевых строк в ступенчатой форме матрицы называется рангом матрицы,обозначаем  r=rg(A)  или r=Rg(A).

Справедливо следующее утверждение.

Для того, чтобы однородная система была нетривиально совместна, необходимо и достаточно, чтобы ранг r матрицы системы был меньше числа неизвестных n.

 

Билет 24 Системой уравнений с неизвестными называется система вида

Если столбец свободных членов то система (1) называется однородной системой; если то (1) называется неоднородной системой.

Теорема Кронекера-Капелли. Для того чтобы система линейных уравнений была совместной необходимо и достаточно, чтобы