4. Вычисление объёмов тел
С помощью определенного интеграла можно вычислять и объёмы тел. Дадим соответствующие формулы.
Теорема
6. Пусть
тело
заключено между плоскостями
и
а
площадь
его поперечного сечения плоскостью
Если функция
непрерывна на отрезке
то
объём тела
вычисляется
по формуле
Замечание 3. Если тело получено вращением криволинейной трапеции
вокруг
оси
,
то объём этого тела вычисляется по
формуле
Действительно,
в этом случае поперечное сечение является
кругом радиуса
поэтому
Аналогично вычисляется объём тела,
полученного вращением вокруг оси
криволинейной трапеции
(конечно, в выписанных формулах для
предполагается,
что функции
и
непрерывны
на соответствующих отрезках).
Билет 16 1. Векторы. Координаты векторов и линейные операции над векторами
Множество
всех геометрических векторов в трехмерном
пространстве обозначают буквой
а множество всех векторов на плоскости
– буквой
Ниже
все понятия и утверждения формулируютя
для пространства
Ясно, что они очевидном образом переносятся
и на пространство
Перейдем к изложению основных понятий.
Определение
1. Вектором
называется направленный отрезок
с начальной точкой
и конечной точкой
причем два вектора считаются р̀авными,
если один из них получен из другого
параллельным переносом(см. Р1). Длина
направленного отрезка
называется длиной вектора
.
Векторы
и
лежащие на одной прямой или на параллельных
прямых называются коллинеарными; если
при этом их направления совпадают, то
пишут
а если они имеют противоположные
направления, то пишут
Таким образом,
Если начало и конец вектора совпадают,
то такой вектор называется нулевым
(обозначение:
).
Считают, что нулевой вектор коллинеарен
любому другому вектору и имеет произвольное
направление.
Заметим,
что векторы обозначаются также малыми
латинскими буквами:
Определим
теперь линейные операции над геометрическими
векторами. Выпустим векторы
и
из общего начала
и построим параллелограмм со сторонами
и
.
Пусть
диагональ этого параллелограмма.
1.
Суммой
двух векторов
и
называется вектор
совпадающий с диагональю параллелограмма
,
построенного указанным образом на
векторах
и
(см.Р3).
2.
Разностью векторов
и
называется
такой вектор
что
Обозначение:
Если
векторы
и
имеют общее начало, то вектор
будет совпадать с вектором, выпущенным
из конца вектора
в конец вектора
(см.Р4).
3.
Произведением
вектора
на число
называется вектор
имеющий длину
и направленный так же, как и
если
и противоположно вектору
если
Обозначение:
Если
же
то
2. Скалярное, векторное и смешанное произведение векторов
Дадим определения этих произведений в краткой форме.
а)
Скалярное произведение векторов
и
б) Векторное произведение векторов и
-
есть вектор
удовлетворяющий
требованиям:
1)
2)
3)тройка
правая, т.е. кратчайший поворот от вектора
к вектору
имеющих общее начало, виден из конца
вектора
(с тем же началом) совершающимся против
часовой стрелки.
в)
Смешанное произведение векторов
Геометрический
смысл:
а)
модуль
векторного произведения численно равен
площади параллелограмма, построенного
на векторах
и
;
б) модуль
смешанного произведения равен объёму
параллелепипеда, построенного на
векторах
,
и
.
Если
начало вектора
а
конец вектора
то
=
Орты
осей декартовой системы координат
имеют следующие координаты:
векторы
и
коллинеарны тогда и толко тогда, когда
существует число
такое, что
Проекция
вектора
на вектор
вычисляется по формуле
Векторы
коллинеарны тогда и только тогда, когда
их координаты пропорциональны:
Скалярное
произведение
векторов
и
равно нулю
когда
векторы
и
ортогональны друг другу.
Векторное
произведение
равно нулю
когда векторы
и
коллинеарны.
Смешанное
произведение
равно
нулю
когда векторы
,
и
компланарны (т.е. все они либо лежат в
одной плоскости, либо находятся в
параллельных плоскостях).
Билет 17 1. Общее уравнение плоскости и уравнение в отрезках
П
усть
в пространстве
задана плоскость
и пусть
фиксированная точка, а
произвольная (текущая) точка этой
плоскости. Посмотрим, какому уравнению
будет подчинена произвольная точка
плоскости
Пусть
вектор нормали к плоскости
Так как
то скалярное произведение
Мы получили
уравнение
плоскости, проходящей через фиксированную
точку
с вектором нормали
(1)
Раскроем
в (1) скобки и обозначим
Получим
общее
уравнение плоскости:
Имеет место следующее очевидное
утверждение.
Теорема
1. Любое
линейное уравнение (2) задаёт в пространстве
плоскость
с вектором нормали
И обратно: любая плоскость в
описывается
линейным уравнением (2).
Если
числа
не равны нулю, то уравнение
называют “уравнением
плоскости в отрезках” (впредь
кавычки будем опускать). При этом
являются величинами (с учётом знака)
отрезков, отсекаемых плоскостью от осей
соответст-венно. Эта плоскость проходит
через точки
факт, удобный при изображении этой
плоскости в пространстве. Из общего
уравнения (2) плоскости легко получить
ее уравнение в отрезках:
(если, конечно, числа, записанные в
знаменателях, существуют).