Вопрос 12. Решение слау методом итераций. Условия сходимости.

Пусть дана система из n линейных уравнений преобразуем систему уравнение и приведем к следующему виду В частности это можно сделать например, следующим образом выразить x₁ через другие неизвестные, из 2 – го x₂ и тд. Из n-го уравнения x_n, тогда (при этом )(3) введем в рассмотрении квадратную матрицу используя эти обозночения ситемы (2) можно записать в матричной форме (4) . Уравнение (4) решим методом последовательных преблежений. Выберем начальный вектор , пусть , подставим в правую чать уравнение (4) , полученное при этом возьмем за ( следующие приближение) подставим в правую часть уравнения (4), и полученное возьмем за и тд. (5) где k = 0,1,2,3,… формулы (5) в скалярном виде запишется в следующем образом эти формулы можно записать в комплексном виде (7) формулы (5), (6) или (7) порождает последовательность векторов Теорема о сходимости.

Если выполняется одно из условий:1) или

2) при этом в условии (1) хотябы для 1-го i, а в условии (2) хотя бы для 1-го j, должно иметь место строгое неравенство), то итерационный процесс, определенный выше является сходящимся, в качестве следствия рассмотрим условие сходимости относительно матрицы исходной системы. Пусть выполняется 1-ое условие теоремы. Заменим , по формуле (3) (матрица с диагональным преобладанием). Если матрица исходной системы имеет диагональное преобладание то итерационный процесс, определяемый одной из формул (5),(6) или (7) является сходящимся. Вычисления по указанным формулам продолжается до достижения заданной точности. (9) При выполнении этого условия процесс прекращают и за решение принимают последнее(к+1) приближение

Вопрос 13. Решение слау методом Зейделя. Условия сходимости.

Метод Зейделя является модификацией метода итераций отличие этого метода от предыдущего состоит в следующем. При нахождении i-ой компоненты (к+1)приближение, используются уже найденные компоненты (к+1) приближения, т.е. - главное отличие. Сначала система уравнений так же приводится к нормальному виду(матричная форма) . За начальное приближение так же можно брать вектор

Пусть известно приближение, напишем формулы для нахождения (к+1)

к=0,1,2,…

Эти формулы можно записать в компактном виде Условие сходимости. Метод является модификацией метода итераций поэтому условие сходимости остается то же самое(теорема о сходимости и следствие) Вычисления продолжаются до тех пор пока (13) за решение принимают последнее (к+1) приближение . Метод Зейделя обладает большей скоростью сходимости и позволяет найти решение системы за меньший объем вычислений

Вопрос 14. Интерполирование функции. Интерполяционный полином Лагранжа.

В отрезке [a;b] дана система узловых точек. . x_i-узлы интерполяции , их количество (n+1) на отрезке [a;b] узлы изображены произвольным образом . В этих точках значение функции известно а сама функция вообще говоря, неизвестна По этим данным требуется построить полином в степени не более чем n и проходящей через заданную систему точек, т.е. полином удовлетворяющий условию. 1) в степени не более чем n degre P_n(x) .2) Полином через заданную точку . Эти условия называем задача с условием 1)-2). Геометрическая иллюстрация постановки задачи

Т.е. другими словами полином проходит через эти точки, а сама функция вообще говоря неизвестна. По известным значениям функции в ряде точек необходимо восстановить функцию на всем отрезке.

Интерполяционный полином Лагранжа.

Сначала поставим и решим частную задачу . Найти полином , такой что в степени n Легко заметить что P(x) должен иметь следующий вид где c_i-неизвестные коэффициенты. Коэффициент c_i определим из условия частной задачи подставляем в (1) (4)

Выражение для c_i подставим в формулу (2) Геометрическая иллюстрация задачи. Проверим действительно ли является решением задачи. degre P_i(x)=n если было бы 0..n но у нас нет x_i поэтому n. Если вместо x подставить x_i d (5) , то P_i(x)=1 если любой другой x_j вместо х, то P_i(x)=0. Задача решена, а ее решение имеет вид (5). Перейдем к решению общей задачи

Вопрос 15. Конечные разности. Их свойства.

Вопрос 16. 1 интерполяционный полином Ньютона.

Вопрос 17. II интерполяционный полином Ньютона.

Вопрос 18. Интерполяция сплайнами. Кубический сплайны.

Вопрос 19. Обработка экспериментальных данных. Этапы решения задачи.

Вопрос 20. Метод наименьших квадратов (МНК).

Вопрос 21. Линейное приближение квадратов по МНК.

Вопрос 22. Квадратичное приближение квадратов по МНК.

Вопрос 23. Полиномиальная аппроксимация по МНК.

Вопрос 24. Численное дифференцирование. Формула численного дифференцирования, основанная на применении интерполяционного полинома Ньютона.

Вопрос 25.Численное дифференцирование. Метод неопределенных коэффициентов.

Вопрос 26. Формула численного дифференцирования, основанные на применении интерполяционных формулах Лагранжа.

Вопрос 27.Численное интегрирование. Метод прямоугольников.

Вопрос 28. Численное интегрирование. Метод трапеций.

Вопрос 29. Численное интегрирование. Метод парабол.

Вопрос 30. Квадратурные формулы Ньютона-Котеса.

Вопрос 31. Задача Коши для обыкновенного дифференциального уравнения (ОДУ) I порядка. Метод Эйлера.

Вопрос 32. Численное решение задачи Коши для ОДУ I порядка методом Рунге-Кутта.

Вопрос 33. Система ОДУ I порядка. Метод Эйлера.

Вопрос 34. Система ОДУ I порядка. Метод Рунге-Кутта.

Вопрос 35. Конечно—разностный метод решения дифференциальных уравнений. Способы аппроксимации производных.

Вопрос 36. Краевая задача для линейного обыкновенного дифференциального уравнения II порядка. Построение конечно-разностной схемы.

Вопрос 37. Первая краевая задача для уравнения теплопроводности. Явная конечно-разностная схема.

Вопрос 38. Первая краевая задача для уравнения теплопроводности. Неявная конечно-разностная схема.

Вопрос 39. Задача Дирихле для уравнения Лапласа.

Вопрос 40. Приближенное решение обыкновенного дифференциального уравнения. Метод Пикара.