Вопрос 4. Метод хорд.

Допустим, что корень уравнения (1) или один из корней . Геометрическая иллюстрация

Допустим что кривая имеет следующий вид

Дугу АВ заменим следующей хордой А( )В( ) точку пересечения с осью абсцисс принимают за первое приближение х₁. Востонавливаем перпендикуляр до пересечения с кривой и проводим вторую хорду А₁В точка пересечения- второе приближение и т.д. Процесс продолжается до тех пор пока не определиться х_n пока не будет близко к корню уравнения с точностью ε. Уравнение хорды, проходящей через точки А и В имеет вид - уравнение хорды АВ

Найдем точки пересечения хорды с осью абсцисс, для этого в уравнение (2) положим y=0, -точка пересечения хорды с осью абсцисс.

должны получить формулу связывающую 2-х соседей в зависимости от знака 1-й и 2-й производных теоретически возможно 4 случая.

1) >0, >0

2) <0, >0

3) >0, <0

4) <0, <0

1) Случай фактически соответствует рис.1

х₀=α; β-неподвижный конец. Поэтому формула (4) Примет вид

2) Случай

x₀=β, α-неподвижный конец. Поэтому формула (4) Примет вид

3)Случай

x₀=β, α-неподвижный конец. Аналогично 2-му случаю

4) Случай

х₀=α; β-неподвижный конец. Аналогично 1-му случаю.

В рассмотренных формулах n= 0,1,2,….

Вычисления по выбранной формуле продолжаются до достижения заданной точности. Обычно до выполнения условия (7)

При выполнении которого вычисления останавливаются и за решение принимают последнее приближение х* .

Выбор начального приближения и неподвижного конца

На основе анализов можно предложить 2 правила для правильного выбора неподвижной точки и соответственно начального приближения

Правило 1. Если произведение первой и второй производной больше нуля f’(x)f’’(x)>0, то х₀=α,β- неподвижный конец, и используется формула (5)

Если f’(x)f’’(x)<0, то х₀=β,α- неподвижный конец, и используется формула (6)

Правило 2. для неподвижного конца выполняется условие f(x)f’’(x)>0(8) , т.е. знак функции совпадает со знаком вогнутости.

Вопрос 5. Метод касательных (Ньютона).

Рассматриваем Уравнение вида (1). Допустим что отделение корней проведено и известно что один из корней лежит на отрезке , х* Геометрическая иллюстрация

Один из концов берем за начальное приближение х₀=β. Определим соответствующую точку графика А₀(х₀;f(x₀)). Проведем касательную к кривой в этой точке до пересечения с осью абсцисс. Точку пересечения х₁. Определим соответствующую точку графика А₁

А₁(х₁;f(x₁)) . Проведем касательную в этой точке. Точку пересечения касательной возьмем за второе приближение х₂. Процесс продолжается до тех пор пока не будет найдено x_n .

Уравнение касательно в точке А₀ :

Найдем точку пересечения касательной с осью абсцисс для этого положим y=0

отсюда х:

и т. д.

для произвольного n-го приближения

(5) n=1,2,3,….

Теорема 1 Если функция f(x) принимает разные значения на концах отрезка , т.е. если - сохраняет знак на , то исходя из х₀ такого что , можно найти по формуле (5)корень уравнения (1)-х* с любой заданной степенью точности эпсилен.

Следствие из теоремы

Правило выбора начального приближения. За х₀ обычно принимают один из концов отрезка α или β , для которого имеет место условие (6)

Вычисления по формуле (50 проводят до выполнения условия или .

При выполнении одного из условий вычисления прекращают и за решение принимают последнее приближение.