3. Теорема о 3-х последовательностях.
Ответ:
Теорема о трех последовательностях. Если последовательности {xn}, {yn}, {zn} таковы, что xn ≤ yn ≤ zn для всех n ≥ N, и
|
то последовательность {yn} сходится, и
|
Если
и для любого
то a ≥ b.
Любая неубывающая ограниченная сверху последовательность сходится.
Любая невозрастающая ограниченная снизу последовательность сходится.
Суммой, разностью, произведением и частным двух последовательностей {xn} и {yn} называют соответственно последовательности {xn + yn}, {xn – yn}, {xn ∙ yn}, {xn / yn}. При определении частного предполагается, что yn ≠ 0 при всех n.
4. Свойства монотонных последовательностей.
Ответ:
Определение. 1) Если xn+1 > xn для всех n, то последовательность возрастающая.
2) Если xn+1 xn для всех n, то последовательность неубывающая.
3) Если xn+1 < xn для всех n, то последовательность убывающая.
4)Если xn+1 xn для всех n, то последовательность невозрастающая
Все эти последовательности называются монотонными. Возрастающие и убывающие последовательности называются строго монотонными.
Свойства монотонных последовательностей:
1.
Пусть {a
} –
возрастающая (убывающая) последовательность,
С –
некоторое
число. Тогда
а) {a +С} – возрастающая (убывающая) последовательность;
б) {Сa } – возрастающая (убывающая) последовательность при С>0;
в) {Сa } – убывающая (возрастающая) последовательность при С<0.
2. Если одна из последовательностей {a } и {b } возрастающая, а другая неубывающая, то{a +b } – возрастающая последовательность; если же одна из этих последовательностей убывающая, а другая невозрастающая, то {a +b } – убывающая последовательность.
3.а)
Если одна из последовательностей {a
}
и {b
}
возрастающая, а другая неубывающая, то
{a
b
} –
возрастающая последовательность при
a
>0,
b
>0
для любых n
N
и {a
b
} –
убывающая последовательность при a
<0,
b
<0
для любых n
N;
б) если одна из последовательностей {a } и {b } убывающая, а другая невозрастающая, то {a b } – убывающая последовательность при a >0, b >0 для любых n N и {a b } – возрастающая последовательность при a <0, b <0 для любых n N.
4. Если {a } – возрастающая (убывающая) последовательность, то
а)
{
} –
убывающая (возрастающая) последовательность
при a
>0
для любых n
N;
б) { } – возрастающая (убывающая) последовательность при a <0 для любых n N.
5. Если все члены последовательности {a } принадлежат множеству M, которое содержится в области определения функции у=f(x), то
а) если {a } – возрастающая (убывающая) последовательность и функция у=f(x) возрастающая на множестве М, то {f(a )} – возрастающая (убывающая) последовательность;
б)
если {
}
– возрастающая (убывающая) последовательность
и функция у=f(x)
убывающая
на множестве М,
то {f(a
)}
– убывающая (возрастающая) последовательность.
Например,
из свойства 5 следует, что последовательности
a
=
,
b
=lnn,
с
=n
являются
возрастающими, а последовательности a
=
,
b
=ln
,
с
=(
)
являются
убывающими.