Вопрос 4

1. Изображение плоскости. Способы задания плоскостей.

Плоскость есть такое множество точек, основные свойства которого выражаются следующими аксиомами:

Через три точки, не принадлежащие одной прямой, проходит одна и только одна плоскость.

Следствия:

o через прямую и не принадлежащую ей точку можно провести одну и только одну плоскость;

o через две пересекающиеся прямые можно провести одну и только одну плоскость;

o через две различные параллельные прямые можно провести только одну плоскость.

Прямая, проходящая через любые две различные точки плоскости, принадлежит этой плоcкости (если две точки прямой

принадлежат плоскости, то и все точки этой прямой принадлежат плоскости).

Если две различные плоскости имеют общую точку, то их пересечение есть прямая (две плоскости пересекаются по прямой

линии).

Задать плоскость на чертеже проекциями множества ее точек практически невозможно, т. к. проекции точек плоскости

покроют плоскости проекций и мы не получим на них никаких изображений. Поэтому плоскость на чертеже задают проекциями

таких принадлежащих ей геометрических фигур, которые однозначно определяют ее положение в пространстве и позволяют

построить любую ее точку. Способы задания плоскостей преведены на рис. 2.3.

Рис. 2.3. Способы задания плоскостей На основании аксиомы 1 и следствий из нее плоскость общего положения на чертеже можно задать (рис. 2.3. а, б, в, г, д):

а) проекциями трех точек, не принадлежащих одной прямой линии;

б) проекциями прямой и не принадлежащей ей точки;

в) проекциями двух пересекающихся прямых;

г) проекциями двух различных параллельных прямых;

д) проекциями плоской фигуры.

2. Плоскости общего и частного положения

2.1. Плоскость общего положения

Плоскость может занимать различные положения относительно плоскостей проекций. Плоскость, не параллельная и не

перпендикулярная ни одной из плоскостей проекций, называется плоскостью общего положения. На рис. 2.3.1 приведены

трехмерная модель и комплексный чертеж плоскости общего положения.

Рис. 2.3.1. Комплексный чертеж плоскости общего положения 2.2. Плоскости частного положения

Плоскости, параллельные или перпендикулярные к плоскостям проекций, называют плоскостями частного положения.

К ним относятся проецирующие плоскости и плоскости уровня.

Вопрос 5

2.2.1. Проецирующие плоскости

Плоскость, перпендикулярная одной из плоскостей проекций, называется проецирующей. Можно выделить следующие

плоскости:

Горизонтально-проецирующая плоскость – плоскость, перпендикулярная к горизонтапльной плоскости проекции (П1)

(рис. 2.3.4);

Фронтально-проецирующая плоскость – плоскость, перпендикулярная к фронтальной плоскости проекции (П2)

(рис. 2.3.5);

Профильно-проецирующая плоскость – плоскость, перпендикулярная к профильной плоскости проекции (П3)

(рис. 2.3.5).

На ту плоскость проекций, к которой проецирующая плоскость перпендикулярна, она проецируется в линию. Эту проекцию

можно рассматривать как след плоскости – линии пересечения проецирующей плоскости с плоскостью проекции.

Проецирующие плоскости обладают следующим свойством: если точка, линия, или фигура расположены в плоскости,

перпендикулярной к плоскости проекции, то на этой плоскости проекций их проекции совпадают с проекцией проецирующей

плоскости.

а) б)

Рис. 2.3.4. Горизонтально - проецирующая плоскость

Горизонтальная проекция плоскости Σ вырождается в прямую линию Σ 1, положение которой соответствует положению

плоскости в пространстве (Σ 1 = Σ П1).

Фронтальная проекция плоскости представляет собой множество точек, совпадающее с множеством точек плоскости П2

(Σ 2 = П2). Горизонтальная проекция любой геометрической фигуры, принадлежащей плоскости Σ, например треугольника АВС,

совпадает с горизонтальной проекцией Σ 1 плоскости Σ. Показанные на рис. 2.3.4 углы β и γ- величины углов наклона плоскости Σ

соответственно к фронтальной и профильной плоскостям проекций.

а) б)

Рис. 2.3.5 Фронтально - проецирующая плоскость

Фронтальная проекция фронтально - проецирующей плогскости вырождается в прямую линию 2 (рис. 2.3.5, б),

положение такой плоскости соответствует положению плоскости в пространстве ( 2 = П2). Горизонтальная проекция

представляет собой множество точек, совпадающих с множеством точек плоскости П1 ( 1 = П1).

Фронтальная проекция любой геометрической фигуры, принадлежащей плоскости , например треугольника ABC,

совпадает с фронтальной проекцией 2 плоскости . Показанные на рис. 2.3.5,б углы α и γ - величины углов наклона плоскости к

горизонтальной и профильной плоскостям проекций.

Рис. 2.3.6. Профильно - проецирующая плоскость

Профильная проекция профильно - проецирующей плоскости вырождается в прямую θ, положение которой соответствует

положению плоскости в пространстве (θ3 = θ П3). Горизонтальная и фронтальная проекции представляют собой множество

точек, совпадающих соответственно с множеством точек плоскостей П1 и П2. Профильная проекция любой геометрической

фигуры, принадлежащей плоскости Г, например треугольника АВС, совпадает с профильной проекцией Г3 плоскости Г.

Показанные на рис. 2.3.6 углы α и β - величины углов наклона плоскости Г к горизонтальной и фронтальной плоскостям проекций. 2.2.2 Плоскости уровня

Плоскость, параллельная одной из плоскостей проекций, называется плоскостью уровня. Плоскости уровня

перпендикулярны одновременно к двум плоскостям проекций. К ним относятся следующие плоскости:

Горизонтальная плоскость уровня – плоскость, параллельная горизонтапльной плоскости проекции (П1) (рис. 2.3.7);

Фронтальная плоскость уровня – плоскость, параллельная фронтальной плоскости проекции (П2) (рис. 2.3.8);

Профильная плоскость уровня – плоскость, параллельная профильной плоскости проекции (П3) (рис. 2.3.9).

Любая линия, лежащая в плоскости уровня, проецируется без искажения на ту плоскочть проекций, которой данная

плоскость уровня параллельна.

а) б)

Рис. 2.3.7. Горизонтальная плоскость уровня Горизонтальная плоскость уровня Г перпендикулярна плоскостям П2 и П3 т. е. является фронтально и профильно

проецирующей одновременно и обладает, следовательно, свойствами каждой из них. Любая геометрическая фигура Ф,

принадлежащая плоскости Г (рис. 2.3.7), проецируется на горизонтальную плоскость проекций в конгруэнтную ей фигуру Ф1,

например: ABC A1B1C1 ABC

а) б)

Рис. 2.3.8. Фронтальная плоскость уровня

Фронтальная плоскость уровня перпендикулярна плоскостям П1 и П3 т. е. является горизонтально и профильно

проецирующей одновременно и обладает, следовательно, свойствами каждой из них. Любая геометрическая фигура Ф,

принадлежащая плоскости , проецируется на фронтальную плоскость проекций в конгруэнтную ей фигуру Ф2, например;

ABC A2B2C2 ABC

Рис. 2.3.9. Профильная плоскость уровня

Профильная плоскость уровня перпендикулярна плоскостям П2, и П1, т. е. является горизонтально и фронтально

проецирующей одновременно и обладает, следовательно, свойствами каждой из них. Любая фигура Ф, принадлежащая

плоскости , проецируется на профильную плоскость проекций в конгруэнтную ей фигуру Ф3, например: ABC A3B3C3ABC

3. Принадлежность прямой и точки плоскости.

Главные линии плоскости.

Построение проекций точки и прямой, принадлежащих данной плоскости общего положения, выполняется на основании

следующих аксиом:

o через любые две различные точки проходит одна и только одна прямая;

o если две точки прямой принадлежат плоскости, то и все точки этой прямой принадлежат данной плоскости (или прямая,

проходящая через любые две различные точки плоскости, принадлежат этой плоскости).

Горизонтали, фронтали и профильные прямые, принадлежащие плоскости, называются главными линиями плоскости.

Построение горизонтали h, принадлежащей плоскости, начинают с проведения ее фронтальной проекции h2

перпендикулярно вертикальным линиям связи в области фронтальной проекции плоскости, а горизонтальную проекцию h1 строят

из условия принадлежности горизонтали плоскости (рис. 3.1).

Построение фронтали f, принадлежащей плоскости, начинают с проведения ее горизонтальной проекции f1 перпенди-

кулярно линиям связи, в области горизонтальной проекции плоскости, а фронтальную проекцию f2 строят из условия

принадлежности прямой плоскости. (рис. 3.2).

Рис.3.1. Построение горизонтали Рис.3.2. Построение фронтали Очевидно, что через каждую точку плоскости можно провести одну горизонталь h, одну фронталь f и одну профильную

прямую р. В плоскости можно провести множество горизонталей, фронталей и профильных прямых. Все горизонтали плоскости

параллельны между собой, точно также параллельны все фронтали и все профильные прямые.

4. Проекции плоских фигур.

Аксиомы принадлежности прямой и точки плоскости позволяют построить чертеж любой плоской фигуры. Пусть требуется

построить чертеж плоского неправильного четырехугольника АВСD. Зададим произвольно три его вершины А, В и С (рис. 4.1).

Одну из проекций четвертой вершины D, например D2, также можно задать произвольно. Вторая проекция D1 должна быть

построена на основании принадлежности точки D плоскости, определяемой точками А, В и С. Проведем диагональ

(АС) [(А2С2) (А1С1)] и фронтальную проекцию (В2D2)диагонали (ВD). Ее горизонтальную проекцию построим с помощью точки 1

пересечения диагоналей (АС) и (ВD). На горизонтальной проекции (В111) по линии связи найдем горизонтальную проекцию D1

иcкомой вершины D.

Рис. 4.1. Построение проекций плоского многоугольника

КАРТИНКИ СЮДА СМОТРЕТЬ http://vstu.by/ftpgetfile.php?id=513&module=files