1 вопрос

Для отображения точек оригинала на чертеже применяют операцию проецирования. Имеется плоскость проецирования (ее иногда называют картинная плоскость), на которой получается изображение оригинала - точки А. Операция проецирования заключается в проведении через точку Апрямой, которая называется проецирующей.

 Чертежи, построенные по методу проецирования, называются проекционными.  В зависимости от положения проецирующих лучей проецирование может быть либо центральным (коническим), либо параллельным (цилиндрическим).

2. Способ проецирования

В начертательной геометрии рассматриваются два основных способа проецирования: центральное и параллельное.

1. Проецирование центральное

Центральным называется проецирование, при котором все проецирующие лучи выходят из одной точки S, называемой центром проецирования. На рис. 1.3 дан пример центрального проецирования, где  – плоскость проекций; S – центр проецирования (точка, не лежащая в плоскости  ); А, В, С – точки пространства; А , В , С – центральные проекции точек А, В, С, на плоскость  : они получаются в пересечении проецирующих лучей SA, SB, SC c плоскостью проекций.

Если для некоторой точки D проецирующий луч окажется параллельным плоскости проекций, то принято считать, что они пересекаются, но в бесконечно удаленной точке. Проекцией точки D будет бесконечно удаленная точка D .

Проекции точек (А и В), лежащих на одном проецирующем луче, совпадают (А  В ) (рис. 1.4).

Рис. 1.3	Рис. 1.4

Построение центральных проекций прямой линии АВ и кривой MN показано на (рис. 1.5 и 1.6).

Рис. 1.5	Рис. 1.6

2. Проецирование параллельное

Параллельным называется проецирование, при котором все проецирующие лучи между собой параллельны.

Параллельные проекции могут быть косоугольными (рис.1.7) и прямоугольными (рис. 1.8).

Рис. 1.7	Рис. 1.8

S – направление проецирования.

При косоугольном проецировании проецирующие лучи составляют с плоскостью проекций угол, не равный 90° .

При прямоугольном проецировании проецирующие лучи перпендикулярны плоскости проекций (прямоугольное проецирование чаще всего называют ортогональным проецированием).

Каждый из рассматриваемых способов имеет свои преимущества и недостатки. В зависимости от того, для какой цели выполняется чертеж, используется тот или иной способ.

Для выполнения чертежа, по которому изготовляется изображаемый предмет, используется ортогональное проецирование.

Косоугольное, параллельное проецирование используется в основном для получения аксонометрических изображений, центральное – для построения перспективных изображений.

В изучаемом курсе основное внимание будет уделено ортогональному проецированию.

2 Вопрос

Прямоугольное (ортогональное) проецирование точки на одну плоскость проекций.

Рассмотрим самый простой случай — ортогональное проецирование точки (рис.  102). Перед плоскостью проекций поместим точку А и через нее проведем проецирующий луч Sa под прямым углом к плоскости проекций до пересечения с ней. Получим точку а — проекцию точки А.

 

Вывод:

1. Проекция точки на данную плоскость проекций есть точка. 2. Любая проецируемая точка имеет одну проекцию на выбранной плоскости проекций. 3. Проекция точки, лежащей на плоскости проекций, совпадает с самой точкой.

Рассмотрим другой пример. На проецирующем луче разместим три точки: А, В, С (рис. 103). Их проекцией на плоскости Р является точка а, следовательно, adbsc. По одной проекции нельзя определить, сколько объектов (точек) было на нее спроецировано.

 

Вывод:

1. Любое количество точек, находящихся на одном проецирующем луче, проецируется в одну точку. 2. Для определения положения точки в пространстве одной ее проекции недостаточно.

Метод выполнения прямоугольных изображений на две взаимно перпендикулярные плоскости проекций впервые был разработан в 1799 году французским инженером и ученым Гаспаром Монжем, который считается основоположником начертательной геометрии - науки об изображении предметов и графических способах решения задач.

Для того чтобы получить две проекции точки, определяющих положение ее в пространстве, возьмем две взаимно перпендикулярные плоскости: V — фронтальную и Н — горизонтальную. Они будут пересекаться по прямой ох, которую называют осью проекций (рис. 104). Расположим точку А в двугранном углу. Используя метод прямоугольного проецирования, спроецируем ее на плоскости проекций, получим фронтальную (а') и горизонтальную (а) проекции точки А. Запись а' читается как «а штрих».

 

Мы рассмотрели метод получения изображений точки А в системе двух плоскостей проекций. Чтобы решить обратную задачу: по изображениям точки найти ее положение в пространстве, необходимо от проекций а и а' провести проецирующие лучи перпендикулярно плоскостям проекций. Их пересечение определит положение точки А в пространстве.

Повернем плоскость Н вокруг оси ох на 90° вниз, до совмещения с плоскостью V, как показано на рис. 105. Получим ортогональные проекции точки. Обратите внимание на то, что проекции а и а расположились на одной прямой а'а (рис. 105). Линия аа' называется линией проекционной связи.

 

Выводы:

1. Фронтальная и горизонтальная проекции точки всегда находятся на перпендикуляре к оси проекций ох, называемом линией проекционной связи. 2. Отрезок аах — есть расстояние точки А до плоскости V. 3. Отрезок а'ах — расстояние точки А до плоскости Н. 4. Положение точки в пространстве определяют две ее проекции.

Прямоугольное (ортогональное) проецирование точки на три плоскости проекций.

Рассмотрим проецирование точки А на три взаимно перпендикулярные плоскости. К фронтальной и горизонтальной плоскостям проекций добавим третью — профильную плоскость проекций (W — «дубль вэ»), которую расположим перпендикулярно к плоскостям V и Н. Используя метод ортогонального проецирования, отобразим точку на трех плоскостях проекций. На профильной плоскости проекций получим изображение, которое будем называть профильной проекцией точки. Профильная проекция обозначается а", а читается как «а два штриха» (рис. 106).

Плоскости проекций Н и W разворачивают до совмещения с плоскостью V, как показано на рис. 106, 107. Линии пересечения плоскостей являются осями проекций ox, оу, oz (рис. 106). Обратим внимание на то, что проекции а' и а, а' и а", а и а" лежат на прямых, называемых линиями проекционной связи (рис. 107). Такая зависимость в  расположении проекции точки называется проекционной связью и при выполнении чертежей должна обязательно соблюдаться. Чертеж, состоящий из нескольких прямоугольных проекций, называется чертежом в системе прямоугольных проекций, или ортогональным чертежом.

 

 

Чертеж точки в системе прямоугольных проекций представлен на рис. 107, б.

Построение третьей проекции точки по двум заданным.

Если известны любые две проекции точки (например, а и а'), то можно найти третью проекцию (в нашем примере а"). Для этого можно использовать постоянную прямую чертежа, которая проводится под углом 45° (рис. 108). Через заданные проекции а и а' точки А проводим линии связи перпендикулярно к осям OZ и оу. Точки пересечения линий связи дают искомую проекцию а". Перенос линии проекционной связи с оси оун на ось oyw осуществляется с помощью постоянной прямой I (рис. 108). Так с помощью вспомогательной прямой находится третья проекция а" точки А по двум заданным.

 

Профильную проекцию а" точки А можно найти способом координирования, показанным на рис. 109. Из точки а' проведем линию проекционной связи к оси Z, на ней отложим отрезок aza" = axa. Обратите внимание на то, что расстояние от оси Z до профильной проекции точки равно расстоянию от оси х до ее горизонтальной проекции.