Симплекс-метод

В канонической модели (6) - (8) каждая из переменных х₅, х₆ ,х₇ является базисной, а остальные переменные - свободными. В связи с этим, в первую симплексную таблицу системы ограничительных уравнений (1.7) можно записать в виде, разрешенном относительно базиса х₅, х₆, х₇ (табл. 1).

Таблица 1

	Базис	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7
x5	20	2	2	4	0	1	0	0
x6	37	3	1	1	2	0	1	0
x7	30	0	1	1	4	0	0	1
f,	0	-11	-6	-9	-6	0	0	0

Рассчитаем значение целевой функции и оценок :

Для векторов базиса оценки всегда равны нулю. Значение целевой функции равно нулю. В последней оценочной строке есть отрицательные оценки, поэтому нужно сделать шаг симплекс-метода. Выбираем столбец с наибольшей по модулю оценкой ( |-11|=11) , а затем разрешающий элемент – по наименьшему отношению свободных членов к коэффициентам столбца ( ). Результат шага запишем в таблицу 2 (ячейку разрешающего элемент будем выделять серым цветом (таблица 1)). Все элементы столбца свободных членов положительны, поэтому содержащийся в табл. 1 план (0; 0; 0; 20; 37; 30) является опорным. Однако этот план не является оптимальным: в f-строке имеются отрицательные элементы. Добиваемся того, чтобы на месте разрешающего элемента в таблице1 стояла единица. Для этого 1-ую строку 1-ой симплекс таблицы делим на 2 и заносим значения во 2-ую симплекс-таблицу, из 2-ой строки вычитаем 1-ю, умноженную на 3/2, из 4-ой строки вычитаем 1-ю, умноженную на (-11/2). В результате переходим ко 2-ой симплекс таблице (таблица 2).

Итак, из базиса надо исключить переменную, стоящую в первой (разрешающей) строке, т.е. х₅. На пересечении разрешающих столбца и строки находится разрешающий элемент 1, с которым и выполняем симплекс-преобразование. Получаем табл. 2.

Таблица 2

	Базис	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7
x1	10	1	1	2	0	1/2	0	0
x6	7	0	-2	-5	2	-3/2	1	0
x7	30	0	1	1	4	0	0	1
f,	110	0	5	13	-6	11/2	0	0

Полученному плану x* = x₁ = (10; 0; 0; 0; 0; 7; 30) соответствует значение целевой функции f(x₁) = 110. В f-строке табл. 2 есть отрицательный элемент, равный (-6), значит, полученный опорный план оптимальным не является.

Наибольший по модулю отрицательный элемент (-6) f-строки указывает, что в новый базис следует ввести переменную x₄, т.е. в качестве разрешающего в предстоящем симплексном преобразовании надо взять четвертый столбец. Чтобы определить переменную, выводимую из базиса, составляем симплексные отношения и выбираем наименьшее:

min (10/0; 7/2; 30/4) = 7/2=3,5.

Итак, из базиса надо исключить переменную, стоящую во второй (разрешающей) строке, т.е. x₂. На пересечении разрешающих столбца и строки находится разрешающий элемент 2, с которым и выполняем следующее симплекс-преобразование: 2-ю строку делим на 2 и заносим в 3-ю таблицу, 1-ю строку переписываем без изменений, из 3-й строки вычитаем 2-ю строку, умноженную на 2 и заносим в 3-ю таблицу, из 4-й строки вычитаем 2-ю строку, умноженную на (-3).

В результате приходим к табл. 3.

Таблица 3

	Базис	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7
x1	10	1	1	2	0	½	0	0
x4	7/2	0	-1	-5/2	1	-3/4	½	0
x7	16	0	5	11	0	3	-2	1
f,	131	0	-1	-2	0	1	3	0

Полученному плану x* = x₄ = (10; 0; 0; 7/2; 0; 0;0) соответствует значение целевой функции f(x₄) = 131. В результате получаем табл. 3, в f-строке которой еще присутствуют отрицательные элементы. Значит, полученный опорный план оптимальным не является.

Выбираем из таблицы 3 столбец с наибольшей по модулю оценкой ( |-2|=2) , а затем разрешающий элемент – по наименьшему отношению свободных членов к коэффициентам столбца ( ).

Итак, из базиса надо исключить переменную, стоящую в третьей (разрешающей) строке, т.е. x₃. На пересечении разрешающих столбца и строки находится разрешающий элемент 11, с которым и выполняем следующее симплекс-преобразование: 3-ю строку делим на 11 и заносим в 4-ю таблицу, из 1-й строки вычитаем 3-ю строку, умноженную на (2/11) и заносим в 4-ю таблицу, из 4-й строки вычитаем 3-ю строку, умноженную на (-2/11), из 2-й строки вычитаем 3-ю строку, умноженную на (-5/22) и заносим в 4-ю таблицу.

В результате приходим к табл. 4.

Таблица 4

	Базис	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7
x1	78/11	1	1/11	0	0	-1/22	4/11	-2/11
x4	157/22	0	3/22	0	1	-3/44	1/22	5/22
x3	16/11	0	5/11	1	0	3/11	-2/11	1/11
f,	1473/11	0	-1/11	0	0	17/11	29/11	2/11

Полученному плану x* = x₃ = (78/11; 0; 16/11; 157/22; 0; 0;0) соответствует значение целевой функции f(x₃) = 1473/11. В результате получаем табл. 4, в f-строке которой еще присутствуют отрицательные элементы. Значит, полученный опорный план оптимальным не является.

Выбираем из таблицы 4 столбец с наибольшей по модулю оценкой ( |-1/11|=1/11) , а затем разрешающий элемент – по наименьшему отношению свободных членов к коэффициентам столбца ( ).

Итак, из базиса надо исключить переменную, стоящую в третьей (разрешающей) строке, т.е. x₂. На пересечении разрешающих столбца и строки находится разрешающий элемент 5/11, с которым и выполняем соответствующие симплекс-преобразование и заносим в 5-ю таблицу.

В результате приходим к табл. 5.

Таблица 5

	Базис	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7
x1	34/5	1	0	-1/5	0	-1/10	2/5	-1/5
x4	67/10	0	0	-3/10	1	-3/20	1/10	1/5
x2	16/5	0	1	11/5	0	3/5	-2/5	1/5
f,	671/5	0	0	1/5	0	8/5	13/5	1/5

Полученному плану x* = x₂ = (34/5; 16/5; 0; 67/10; 0; 0;0) соответствует значение целевой функции f(x₂) = 671/5. В результате получаем табл.5, в f-строке которой отсутствуют отрицательные элементы.

Значит, опорный план является оптимальным, а соответствующее ему значение 671/5 целевой функции будет максимальным.

Итак, по оптимальному плану следует изготовить 34/5 ед. продукции вида P₁ , 16/5 ед. продукции P₂, 67/10 ед. продукции P₄, продукцию вида P₃ производить не следует. При этом предприятие получит максимальную прибыль, которая составит 671/5 денежных единиц.

Неиспользованных ресурсов не будет, а ресурсы Р₁, Р₂, Р₄ будут израсходованы полностью.