28. Простейшие задачи аналитической геометрии.

  Расстояние между двумя точками 

где   и   радиус-векторы точек   и  .

   

  В координатах:

     на прямой   

     на плоскости   

     в пространстве   

     Деление отрезка в данном отношении   

     В координатах:

     на прямой    ;

     на плоскости    ,    ;

     в пространстве    ,    ,   

29.Общее уравнение плоскости . Его частные случаи.

Каждую плоскость в пространстве можно представить как линейное уравнение, называемое общим уравнением плоскости

 ,                                           (8) 

где   .               

Коэффициенты    являются координатами нормального вектора плоскости   . Вектор    перпендикулярен плоскости.

Частные случаи.

1.  Если в уравнении (8)   , то оно принимает вид Ax+By+Cz=0.Этому ур-ю удовлетворяет точка О(0;0;0). Следовательно, плоскость проходит через начало координат.

2.  Если С=0, то имеем ур-е: Аx+By+D=0. Нормальный вектор n=(A,B,0) перпендикулярен оси Оz. Следовательно плоскость параллельна оси Оz, если В=0 – параллельна оси Оy, А=0 – параллельна оси Оx.

3. Если С=D=0, то плоскость проходит через О(0;0;0) параллельно оси Оz, т.е. плоскость Аx+By=0 проходит через ось Оz. Аналогично ур-ям Ву+Сz=0 и Ах+Сz=0 отвечают плоскости, порходящие соответственно через ос Ох и Оу.

4. Если А=В=0, то ур-е (8) принимает вид Сz+D=0, т.е. z= -D/C. Плоскость параллельна плоскости Оху. Аналогично ур-ям Ах+D=0 и Ву+D=0 отвечают плоскости, соответственно параллельные плоскостям Оух и Охz.

5. Если А=В=D=0, то ур-е (8) примет вид Сz=0, т.е. z=0. Это ур-е плоскости Оху. Аналогично у=0 – ур-е плоскости Охz, х=0 – ур-е плоскости Оуz.

30. Угловой коэффициент прямой.

Угловой коэффициент прямой — коэффициент   в уравнении   прямой на координатной плоскости, численно равен тангенсу угла (составляющего наименьший поворот от оси Ox к оси Оу) между положительным направлением оси абсцисс и данной прямой линией.

Прямые   и   перпендикулярны, если  , а параллельны при  .

31. Уравнение прямой проходящей через 2 точки.

Пусть даны точки A(x₁;y₁) и B(x₂;y₂). Уравнение прямой, проходящей через точки A(x₁;y₁) и B(x₂;y₂) имеет вид:

 

Если данные точки A и B лежат на прямой, параллельной оси O_x (у₂-у₁=0) или оси O_у (х₂-х₁=0), то уравнение прямой будет соответственно иметь вид у=у₁ или х=х₁

32. Уравнение прямой проходящей через заданную точку в заданном направлении.

Уравнение прямой, проходящей через данную точку A(x₁, y₁) в данном направлении, определяемом угловым коэффициентом k,

y - y₁ = k(x - x₁).     

Это уравнение определяет пучок прямых, проходящих через точку A(x₁, y₁), которая называется центром пучка.

33. Уравнение прямой с угловым коэффициентом.

Уравнение прямой с угловым коэффициентом имеет вид  , где k - угловой коэффициент прямой, b – некоторое действительное число. Уравнением прямой с угловым коэффициентом можно задать любую прямую, не параллельную оси Oy (для прямой параллельно оси ординат угловой коэффициент не определен).

34. Уравнение прямой в отрезках на осях.

     

где a - величина отрезка, отсекаемого прямой на оси Ox; b - величина отрезка, отсекаемого прямой на оси Oy.

35. Угол между прямыми на плоскости, условия их параллельности и перпендикулярности.

Если уравнения прямой заданы в общем виде

A₁x + B₁y + C₁ = 0,         

A₂x + B₂y + C₂ = 0

угол между ними определяется по формуле

     

Условия параллельности двух прямых:

а) Если прямые заданы уравнениями с угловым коэффициентом, то необходимое и достаточное условие их параллельности состоит в равенстве их угловых коэффициентов:

k₁ = k₂.     

б) Для случая, когда прямые заданы уравнениями в общем виде необходимое и достаточное условие их параллельности состоит в том, что коэффициенты при соответствующих текущих координатах в их уравнениях пропорциональны, т. е.

     

Условия перпендикулярности двух прямых:

а) В случае, когда прямые заданы уравнениями с угловым коэффициентом, необходимое и достаточное условие их перпендикулярности заключается в том, что их угловые коэффициенты обратны по величине и противоположны по знаку, т. е.

     

Это условие может быть записано также в виде

k₁k₂ = -1.     

б) Если уравнения прямых заданы в общем виде (6), то условие их перпендикулярности (необходимое и достаточное) заключается в выполнении равенства

A₁A₂ + B₁B₂ = 0.