16. Линейные операции над векторами
Линейными операциями называют операции сложения и вычитания векторов и умножения вектора на число.
Сложение
векторов. Пусть 
и 
–
два произвольных вектора. Возьмем
произвольную точку О и
построим вектор 
;
затем от точки А отложим
вектор 
.
Вектор 
,
соединяющий начало первого слагаемого
вектора с концом второго, называется суммой этих
векторов и обозначается 
Вычитание
векторов. Разностью 
векторов
и
называется
такой вектор 
,
который в сумме с вектором
дает
вектор
: 
Û 
.
Умножение
вектора на число. Произведением вектора
на
действительное число 
называется
вектор
(обозначают 
),
определяемый следующими условиями:
1) 
,
2) 
при 
и 
при 
.
Очевидно,
что при 
.
17. Проекция вектора на ось, теорема о проекциях.
Ось – это прямая, на которой указано направление и начало отчета.
Орт оси – единичный вектор , имеющий то же направление, что и ось
Углом между и (между и осью ) называется наименьший , на который надо повернуть один из векторов (ось) до совпадения по направлению с другим вектором.
Проекцией на ось называется длина отрезка А`B`, заключенная между ортогональными проекциями начала А и конца В вектора , взятая со знаком (+), если и с (-), если
Теорема (о проекции вектора на ось): проекция вектора на ось равна длине этого вектора, умноженной на косинус угла между векторами и осью.
18. Координаты вектора.
Координа́ты ве́ктора ― коэффициенты единственно возможной линейной комбинации базисных векторов в выбранной системе координат, равной данному вектору.
Линейные операции над векторами можно выполнять как в векторной, так и в координатной формах, например:
1. Сложение векторов.
Координатная форма.
.
2. Умножение вектора на число.
Координатная форма.
.
19. Модуль вектора, и его направляющие косинусы.
Модулем
(длиной) вектора 
называется длина(норма)
соответствующего вектора 
и
обозначается как 
.
Направляющие косинусы вектора (в пространстве) – это косинусы углов, которые вектор образует с положительными полуосями координат. Направляющие косинусы однозначно задают направление вектора. Если вектор имеет длину 1, то его направляющие косинусы равны его координатам. В общем случае для вектора с координатами (a; b; c) направляющие косинусы равны:
где a, b, y – углы, составляемые вектором с осями x, y, z соответственно.
Сумма квадратов направляющих косинусов равна 1.
20. Разложение вектора по координатному базису.
Пусть на плоскости задан вектор А и пусть в этой плоскости задана система координат OXY. На каждой из осей выберем единичный вектор, направление которого совпадает с единичным направлением осей, обозначим такой вектор на оси OX через i, на оси OY через j – эти два вектора взаимно перпендикулярны и их называют - ортами , тк эти два вектора не коллинеарны, то говорят, что они образуют на плоскости ортогональный базис. Совершим перенос вектора А таким образом, чтобы его начальная точка совпала с началом координат, не смотря на его новое положение, это тот же самый вектор. Далее опустив из конечной точки вектора А на оси перпендикуляры на оси, мы получим проекции вектора на оси OX и OY, которые обозначим Ax и Ay, произведение проекций на соответствующие единичные векторы будут являться составляющими вектора А по координатным осям, суммируя составляющие по правилу параллелограмма получаем вектор А , таким образом произвольный вектор на плоскости мы выразили через сумму произведений своих проекций на орты (A=Axi+Ayj) полученная формула дает разложение вектора А по ортогональному базису , отличием для любого другого произвольного вектора будут являться его проекции использующиеся в формуле, поэтому еще используют упрощенную формулу ( Ax; Ay) –координаты вектора.