4.3. Косвенные измерения при нелинейной зависимости

4.3.1. Для косвенных измерений при нелинейных зависимостях и некоррелированных погрешностях измерений аргументов используют метод линеаризации.

4.3.2. Метод линеаризации предполагает разложение нелинейной функции в ряд Тейлора:

,

где – нелинейная функциональная зависимость измеряемой величины от измеряемых аргументов ;

– первая производная от функции по аргументу , вычисленная в точке ;

– отклонение результата измерения аргумента от его среднего арифметического;

– остаточный член.

Метод линеаризации допустим, если можно пренебречь остаточным членом .

4.3.3. Остаточным членом

пренебрегают, если

,

где – среднее квадратическое отклонение случайных погрешностей результата измерения – го аргумента.

Отклонения при этом должны быть взяты из полученных значений погрешностей и такими, чтобы они максимизировали выражение для остаточного члена .

4.3.4. Результат измерения вычисляют по формуле

.

4.3.5. Среднее квадратическое отклонение случайной погрешности результата косвенного измерения вычисляют по формуле

.

4.3.6. Доверительные границы случайной погрешности результата косвенного измерения при условии, что распределения погрешностей результатов измерения аргументов не противоречат нормальным распределениям, вычисляют в соответствии с п. 4.2.4, подставляя вместо коэффициентов первые производные , соответственно.

4.3.7. Границы неисключенной систематической погрешности результата косвенного измерения вычисляют в соответствии с п. 4.2.5, подставляя вместо коэффициентов первые производные , соответственно.

4.3.8. Погрешность результата косвенного измерения оценивают в соответствии с п. 4.2.6.

4.4. Косвенные измерения при наличии корреляции между погрешностями измерений аргументов

При наличии корреляции между погрешностями измерений аргументов для определения результатов косвенного измерения и его погрешности используют метод приведения, который предполагает наличие ряда отдельных значений измеряемых аргументов, полученных в результате многократных измерений. Этот метод можно также применять при неизвестных распределениях погрешностей аргументов. Более подробно с методом приведения можно ознакомиться в МИ 2083 – 90 «ГСИ. Измерения косвенные. Определение результатов измерений и оценивание их погрешностей».

4.5. Формы представления результата измерения

4.5.1. Если границы погрешности результата измерения симметричны, то результат измерения и его погрешность представляют в виде

.

4.5.2. Если предполагают исследование и сопоставление результатов измерений или анализ погрешностей, то результат измерения и его погрешность представляют в виде

,

где n – число измерений того аргумента, при измерении которого выполнено минимальное число измерений.

4.6. Критерий ничтожных погрешностей

4.6.1. В случае, если приходится суммировать (учитывать) множество случайных погрешностей, различных по значению, можно упростить вычисления, отбросив те погрешности, которые по сравнению с другими ничтожно малы.

4.6.2. Пусть следует просуммировать две частные погрешности и , причем . В общем случае суммарная погрешность

.

Поскольку суммарная погрешность округляется до двух значащих цифр, изменение менее чем на 5% не повлияет на округленное значение . Откуда

; ; ; ; .

Отсюда можно сформулировать следующий критерий: если среди суммируемых частных погрешностей обнаружены наибольшая и наименьшая, отличающиеся по значению друг от друга более чем в три раза, то меньшей погрешностью можно пренебречь, что практически не отразится на значении .

4.6.3. Если число суммарных погрешностей более двух, то, строго говоря, критерий приобретает вид

.

Эта формула в метрологии называется критерием ничтожных погрешностей, а сами погрешности называются ничтожными или ничтожно малыми.

4.6.4. В вычислениях результатов косвенных измерений приходится пользоваться приближенными значениями некоторых постоянных. Округление числовых значений этих констант должно проводиться в соответствии с критерием ничтожных частных погрешностей: погрешность округления константы С должна удовлетворять неравенству

,

где − погрешность, возникающая при округлении числового значения константы;

− заданная доверительная граница погрешности результата косвенного измерения;

− частная производная от по величине С.