Вопрос 11

Для мгновенных значений ЭДС, токов и напряжений остаются справедливыми сформулированные ранее законы Кирхгофа.

Первый: в любой момент времени алгебраическая сумма токов в узле электрической цепи равна нулю: , (2.8) где n – число ветвей, сходящихся в узле.

Второй: в любой момент времени в замкнутом контуре электрической цепи алгебраическая сумма ЭДС равна алгебраической сумме напряжений на всех остальных элементах контура:

                     (2.9) где m – число ветвей, образующих контур.

Токи, напряжения и ЭДС, входящие в уравнения (2.8) и (2.9), есть синусоидальные функции времени, которые мы рассматриваем как проекции некоторых векторов на оси координат. Так как сложению проекций соответствует сложение векторов и соответствующих им комплексных чисел, то справедливыми будут следующие уравнения, которые можно записывать как для действующих, так и для амплитудных значений.

ЗаконыКирхгофа в векторной форме:	ЗаконыКирхгофа в символической форме:
(2.10)	(2.11)

    Из сказанного вытекают три возможных подхода к расчету цепей синусоидального тока: выполнение операций непосредственно над синусоидальными функциями времени по уравнениям (2.8) и (2.9); применение метода векторных диаграмм, основанного на уравнениях (2.10), использование в расчетах комплексных чисел и уравнений (2.11), являющихся основой символического метода.

Пример 2.4. В узле электрической цепи сходятся три ветви (рис. 2.14).

Токи первых двух ветвей известны: i1 = 8sin(w t+30° ) А, i2 = 6sin(w t+120° ) А. Требуется записать выражение тока i3 и определить показания амперметров электромагнитной системы.

Рис. 2.14. Узел электрической цепи

Решение 1. Непосредственное сложение синусоид:

i₃ = i₁+i₂ = 8sin(w t+30° )+6sin(w t+120° ) = I_3msin(w t+y ₃).

Сумма двух синусоид одинаковой частоты есть тоже синусоида той же частоты. Ее амплитуда и начальная фаза могут быть найдены по известным из математики формулам:

A,

,

откуда y ₃ = 66,87° . Итак, i₃ = 10sin (w t+66,87° )

2. Применение метода векторных диаграмм.

В соответствии с первым законом Кирхгофа в векторной форме для цепи на рис. 2.14 имеем  . В прямоугольной системе координат строим векторы   и   и находим вектор  , равный их сумме (рис. 2.15).

Так как треугольник oab прямоугольный, а сторона ab равна длине вектора I2m, то  =   А. Если треугольник получается не прямоугольным, то применяется теорема косинусов. Начальная фаза третьего тока равна углу наклона: вектора I3m к горизонтальной оси:

Рис. 2.15. Векторная диаграмма токов

3. Решение символическим методом.

Записываем комплексные амплитуды первого и второго токов:

 A,

 A

  По первому закону Кирхгофа в символической форме

 А.

    Модуль последнего комплексного числа равен амплитуде третьего тока, а аргумент – начальной фазе. Определяем показания амперметров. Приборы электромагнитной системы показывают действующие значения токов и напряжений, поэтому

 A,   A,  A.

    Обращаем внимание на то, что  . Это не ошибка. В цепях синусоидального тока для показаний приборов законы Кирхгофа не справедливы. Можно складывать мгновенные значения токов (синусоидальные функции времени), векторы и комплексные числа, но не численные значения токов и напряжений, не показания приборов.

Следует заметить, что первый из рассмотренных в примере методов из-за громоздкости вычислительных операций с синусоидами практически не применяется.

Метод векторных диаграмм удобен при решении относительно несложных задач.

В символической форме, как будет показано ниже, можно рассчитать сколь угодно сложную линейную цепь.