Предельный переход в неравенствах

     Арифметические операции над сходящимися последовательностями приводят к таким же арифметическим операциям над их пределами. В этом пункте покажем, что неравенства, которым удовлетворяют элементы сходящихся последовательностей, в пределе переходят в соответствующие неравенства для пределов этих последовательностей.

     Теорема. Если элементы сходящейся последовательности {x_n}, начиная с некоторого номера, удовлетворяют неравенству x_n ≥ b (x_n ≤ b), то и предел a этой последовательности удовлетворяет неравенству a ≥ b (a ≤ b).

     Доказательство. Пусть все элементы x_n, по крайней мере начиная с некоторого номера, удовлетворяют неравенству x_n ≥ b. Требуется доказать неравенство a ≥ b. Предположим, что a < b. Поскольку a - предел последовательности {x_n}, то для положительного ε = b - a можно указать номер N такой, что при n ≥ N выполняется неравенство |x_n - a| < b - a. Это неравенство эквивалентно следующим двум неравенствам: -(b - a) < x_n - a < b - a. Используя правое из этих неравенств, получим x_n < b, а это противоречит условию теоремы. Случай x_n ≤ b рассматривается аналогично. Теорема доказана.

     Замечание. Элементы сходящейся последовательности {x_n} могут удовлетворять строгому неравенству x_n > b, однако при этом предел a может оказаться равным b. Например, если  , то x_n > 0, однако  .

     Следствие 1. Если элементы x_n и y_n сходящихся последовательностей {x_n} и {y_n}, начиная с некоторого номера, удовлетворяют неравенству x_n ≤ y_n, то их пределы удовлетворяют такому же неравенству:

     В самом деле, элементы последовательности {y_n - x_n} неотрицательны, а поэтому неотрицателен и ее предел  . Отсюда следует, что

 Следствие 2. Если все элементы сходящейся последовательности {x_n} находятся на сегменте [a, b], то и ее предел c также находится на этом сегменте.

     В самом деле, так как a ≤ x_n ≤ b, то a ≤ c ≤ b.

     Следующая теорема играет важную роль в различных приложениях.

     Теорема. Пусть {x_n} и {z_n} - сходящиеся последовательности, имеющие общий предел a. Пусть, кроме того, начиная с некоторого номера, элементы последовательности {y_n} удовлетворяют неравенствам x_n ≤ y_n ≤ z_n. Тогда последовательность {y_n} сходится и имеет предел a.

     Доказательство. Нам достаточно доказать, что последовательность {y_n - a} является бесконечно малой. Обозначим через N^* номер, начиная с которого выполняются неравенства, указанные в условии теоремы. Тогда, начиная с этого же номера, будут выполняться также неравенства x_n - a ≤ y_n - a ≤ z_n - a. Отсюда следует, что при n ≥ N^* элементы последовательности {y_n - a} удовлетворяют неравенству

|y_n - a| ≤ max {|x_n - a|, |z_n - a|}.

     Так как   и  , то для любого ε > 0 можно указать номера N₁ и N₂ такие, что при n ≥ N₁ |x_n - a| < ε, а при n ≥ N₂ |z_n - a| < ε. Пусть N = max{N^*, N₁, N₂}. Начиная с этого номера, имеет место неравенство |y_n - a| < ε. Итак, последовательность {y_n - a} - бесконечно малая. Теорема доказана.

15.

Формулировка: Если существуют 3 последовательности, элементы одной из которых начиная с некоторого номера будут между элементами двух других при равных номерах, а также 2 другие последовательности имеют конечные пределы, и эти пределы равны, то наша последовательность тоже будет сходится к конечному пределу,и этот предел будет равен пределам двух других последовательностей.  Доказательство:

а_n<b_n<c_n начиная с некоторого N  предел а_n равен d и предел c_n равен d  (!) что у последовательности b_n тоже есть предел и он равен d  рассмотрим E>0  предел а_n равен d, следовательно существует номер N₁, начиная с которого |а_n-d|<E, то есть E-d<а_n<E+d  предел c_n равен d, следовательно существует номер N₂, начиная с которого |а_n-d|<E, то есть E-d<c_n<E+d  выберем наибольший из номеров (N)  тогда:  E-d<а_n<b_n<c_n<E+d  то есть E-d<b_n<E+d, следовательно последовательность b_n имеет конечный предел и он равен d (если последнее не понятно из предыдущей записи, то просто смотрим на теорему №4: предел b_n не меньше и не больше d, следовательно равен)  что и требовалась доказать.

16.

Определение 1. Функция f(x) называется непрерывной в точке х = а, если она определена в некоторой двусторонней окрестности этой точки, включая и саму эту точку, и при этом

Функция называется непрерывной на промежутке, если она непрерывна во всех точках этого промежутка. Точки разрыва и их типы Определение 2. Точка х = а называется точкой устранимого разрыва, если в этой точке функция имеет равные между собой конечные пределы, но сама в этой точке либо принимает другое значение, либо вообще не определена. Определение 3. Точка х = а называется точкой разрыва первого рода, если в этой точке функция имеет конечные, но различные односторонние пределы. При этом разность

f(a + 0) - f(a - 0)

называется скачком функции в точке х = а. Определение 4. Точка х = а называется точкой разрыва второго рода, если хотя бы один из односторонних пределов не существует или равен  . Теорема 1. Если функции f(x) и g(x) непрерывны в точке х = а, то функции f(x) ± g(x), f(x) • g(x),  , где g(a)   0 также непрерывны в этой точке. Теорема 2. Если функция f(x) непрерывна в точке х = а, а функция g(y) непрерывна в точке у = b, b = f(a), то сложная функция g(f(x)) непрерывна в точке х = а. Теорема 3. Все элементарные функции непрерывны во всех точках, где они определены.