15. Парабола. Ее характеристики.

Параболой называется множество точек плоскости, равноудаленных от данной точки F, называемой фокусом, и от данной прямой L, называемой директрисой.

Выберем декартову систему координат Оху так, чтобы ось Ох проходила через фокус F перпендикулярно директрисе, а начало координат О поместим на одинаковых расстояниях от фокуса и директрисы (рис.1).

Р асстояние от фокуса до директрисы, называемое параметром параболы, обозначим через р. Тогда фокус имеет координаты , а уравнением директрисы является . Парабола в выбранной системе координат определяется каноническим уравнением

. (1)

Уравнение (1) имеет смысл только для неотрицательных значений х, т.е. все точки параболы лежат в I и IV квадрантах. Парабола симметрична относительно оси Ох.

Точка О называется вершиной параболы, ось симметрии (ось Ох)– осью параболы. Параметр р характеризует «ширину» области, ограниченной параболой.

Парабола, определяемая уравнением , расположена слева от оси ординат (рис. 2а)). Ее вершина совпадает с началом координат О, осью симметрии является ось Ох.

Рис. 2 а) Рис. 2 б) Рис. 2 в)

Уравнение , является уравнением параболы с вершиной в точке О и осью симметрии Оу (рис.2б)). Такая парабола лежит выше оси абсцисс. Уравнение , определяет параболу, которая лежит ниже оси Ох, с вершиной в точке О и осью симметрии Оу (рис.2в)).

16. Уравнение кривых второго порядка в полярной системе координат.

Утверждение 1. Отношение расстояния r от произвольной точки эллипса (гиперболы) до фокуса к расстоянию d от этой точки до соответствующей директрисы есть постоянная величина, равная эксцентриситету эллипса (гиперболы), т.е. .

Заметим, что таким же свойством обладает и парабола, если считать .

Обозначим через F фокус кривой, через – директрису. Введем полярную систему координат таким образом, что ее полюсом является точка F, а ось перпендикулярна директрисе (рис. 3).

Утверждение 2.Уравнение

(1)

во введенной системе координат определяет эллипс, если ; гиперболу, если и параболу, если .

Уравнение (1) называется полярным уравнением эллипса, параболы, гиперболы. В случае гиперболы это уравнение определяет одну из двух ее ветвей. Отметим, что для параболы параметр р в уравнении (1) совпадает с ее параметром р из §10, а для эллипса и гиперболы

.

17. Различные способы задания плоскости в пространстве. Взаимное расположение плоскостей. Угол между плоскостями. Расстояние от точки до плоскости.

17¹. Различные способы задания плоскости в пространстве.

Существуют различные способы задания плоскости и соответствующие им виды уравнения:

1 .Уравнение плоскости, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору. Пусть заданы прямоугольная система координат Oxyz, в ней точка и ненулевой вектор . Уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору (рис 1), имеет вид

.

2. Общее уравнение плоскости. Уравнение преобразовывается к виду

, (1)

в котором .)

Уравнение (1) называется общим уравнением плоскости.

3. Уравнение плоскости, задаваемой тремя точками , и Уравнение плоскости, проходящей через три данные точки. имеет вид

.

4.Неполные уравнения плоскости. Общее уравнение (1) называют полным уравнением плоскости, если все его коэффициенты отличны от нуля. Если хотя бы один из указанных коэффициентов равен нулю, то уравнение (1) называют неполным.

5. Уравнение плоскости в отрезках. В полном уравнении плоскости . Значит, его можно переписать в виде

, (2)

где . Уравнение (2) называют уравнением плоскости в «отрезках», т.к. знаменатели есть величины отрезков, отсекаемых плоскостью на осях координат.

17². Взаимное расположение плоскостей.

Условие параллельности плоскостей (1) совпадет с условием коллинеарности векторов и и имеет вид

.

Отсюда вытекает также условие совпадения плоскостей (1):

Условие перпендикулярности плоскостей (1) есть вместе с тем и условие перпендикулярности нормальных векторов и :

.

17³. Угол между плоскостями.

Пусть заданы уравнения двух плоскостей:

. (1)

Углом между плоскостями (1) называется любой из двух смежных двугранных углов, образованных этими плоскостями.

Отметим, что сумма этих смежных двугранных углов равна . Один из этих углов определяется как угол между нормальными векторами и к этим плоскостям:

. (2)

17⁴. Расстояние от точки до плоскости.

Расстояние от точки до плоскости находится по формуле

.