13. Эллипс. Его характеристики.

Э ллипсом называется множество точек плоскости, сумма расстояний от каждой из которых до двух заданных точек и , называемых фокусами, есть величина постоянная, равная .

Выберем декартову систему координат так, чтобы ось проходила через фокусы и , расстояние между которыми обозначим , а начало координат О находилось в середине отрезка (рис. 1). В такой системе координат уравнение эллипса будетиметь вид

. (1)

Уравнение (1) называется каноническим уравнением эллипса. Параметр определяется равенством . Эллипс симметричен относительно обеих осей координат. Эллипс пересекает ось в двух точках: и ; пересекает ось в двух точках: и . Эти четыре точки называют вершинами эллипса. Отрезок называется большой осью эллипса, а отрезок – его малой осью. Здесь .

Уравнение (1) можно рассматривать и в случае тогда оно определяет эллипс с большой полуосью фокусы такого эллипса лежат на оси Oy.

В случае, когда , уравнение (1) имеет вид и определяет окружность радиуса а с центром в начале координат. В этом случае .

Эксцентриситетом эллипса называется отношение расстояния между фокусами к длине большой оси, т.е.

.

Поскольку , то для любого эллипса , причем случай соответствует окружности.

Геометрически характеризует степень сжатия эллипса: чем больше , тем больше вытянут эллипс.

Две прямые, перпендикулярные большой оси эллипса и расположенные симметрично относительно центра на расстоянии от него, называются директрисами эллипса.

Если эллипс задан каноническим уравнением (1), то уравнения директрис имеют вид

и .

Так как , то . Откуда заключаем, что правая директриса расположена правее правой вершины эллипса, а левая – левее его левой вершины.

14. Гипербола. Ее характеристики.

Гиперболой называется множество точек плоскости, модуль разности расстояний от каждой из которых до двух заданных точек и , называемых фокусами, есть величина постоянная, равная .

Пусть – расстояние между фокусами и . Выберем декартову систему координат так, чтобы и находились на оси симметрично относительно начала координат (рис. 1).

В выбранной системе координат получаем каноническое уравнение гиперболы

, где .(1)

Такая гипербола изображена на рис. 1. Она симметрична относительно обеих осей координат и состоит из двух частей, которые называют ее ветвями.

Гипербола пересекает ось в двух точках: и , называемых вершинами гиперболы. Отрезок называется действительной осью гиперболы, а отрезок – мнимой осью.

Прямые называются асимптотами гиперболы, к которым приближаются ветви гиперболы при увеличении х по абсолютной величине. Для их построения целесообразно предварительно построить прямоугольник со сторонами 2а и 2b, параллельными координатным осям и с центром в точке О (рис.1), который называют еще основным прямоугольником гиперболы.

Эксцентриситетом гиперболы называют отношение . Так как а < с, то для любой гиперболы . Чем меньше , т.е. чем ближе к единице, тем больше вытянут основной прямоугольник по оси Ох.

Если у гиперболы (1) , то она называется равносторонней и ее уравнение принимает вид . Асимптотами этой гиперболы являются взаимно перпендикулярные прямые .

Уравнение

(2)

определяет гиперболу с действительной осью Oy.

Гиперболы, определяемые уравнениями (1) и (2) в одной и той же системе координат с одинаковыми значениями и , называются сопряженными.

Две прямые, заданные уравнениями и , называют директрисами гиперболы (1). Правая директриса расположена между центром и правой вершиной гиперболы, а левая  – между центром и левой вершиной гиперболы.