11. Смешанное произведение векторов. Условие компланарности трех векторов.

11¹. Смешанное произведение векторов

Пусть даны три вектора и . Умножим вектор векторно на , а полученный вектор умножим скалярно на и тем самым определим число . Оно называется векторно-скалярным или смешанным произведением трех векторов Смешанное произведение обозначают также , или , или .

Утверждение 1. Смешанное произведение равно объему параллелепипеда, построенного на векторах , взятому со знаком «+», если тройка – правая, со знаком «–», если тройка – левая. Если же компланарны, то

В утверждении 1 заключается геометрический смысл смешанного произведения.

Утверждение 2. Смешанное произведение не меняется при круговой перестановке его сомножителей; перестановка двух соседних сомножителей меняет знак произведения на противоположный, т.е.

11². Условие компланарности трех векторов.

Необходимым и достаточным условием компланарности векторов является равенство нулю их смешанного произведения: .

Доказательство: Если компланарны , о из утверждения 1 получаем .

Пусть теперь выполняется равенство и покажем, что векторы компланарны, то по утверждению 1 их смешанное произведение = ± V ≠ 0, что противоречит

12. Различные виды уравнений прямой на плоскости. Взаимное расположение двух прямых на плоскости. Угол между прямыми. Расстояние от точки до прямой.

12¹. Различные виды уравнений прямой на плоскости.

А)Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Рассмотрим прямую, не перпендикулярную оси . Назовем углом наклона данной прямой к оси угол , на который нужно повернуть ось против часовой стрелки, чтобы ее положительное направление совпало с одним из направлений прямой (рис.1). Тангенс угла наклона прямой к оси называют угловым коэффициентом и обозначают буквой :

. (1)

Е сли , т.е. прямая параллельна оси , то . Если , то есть прямая перпендикулярна оси , то выражение не имеет смысла. Тогда говорят, что угловой коэффициент «обращается в бесконечность».

Если известен угловой коэффициент прямой и величина отрезка , который прямая отсекает на оси , то прямая определяется уравнением

.. (2)

Уравнение (2) называют уравнением прямой с угловым коэффициентом . Если , то прямая параллельна оси , и ее уравнение имеет вид .

Итак, любая прямая, не перпендикулярная оси , имеет уравнение вида (2). Верно и обратное: любое уравнение вида (2) определяет прямую, которая имеет угловой коэффициент и отсекает на оси отрезок, величина которого равна .

Б)Уравнение прямой, проходящей через данную точку, с данным угловым коэффициентом. Если известно, что угловой коэффициент прямой равен , и прямая проходит через точку , то уравнение такой прямой имеет вид

.

В)Уравнение прямой, проходящей через две данные точки. Прямая, проходящая через заданные точки и определяется уравнением

Если , то уравнение искомой прямой имеет вид и такая прямая параллельна оси . Если , то прямая, проходящая через точки и , параллельна оси , ее уравнение имеет вид .

С)Общее уравнение прямой.

Утверждение 1. В прямоугольной системе координат любая прямая задается уравнением первой степени

, (2)

и, обратно, уравнение (2) при произвольных коэффициентах ( и одновременно не равны нулю) определяет прямую в прямоугольной системе координат .

Линии, определяемые уравнениями вида (2) называются линиями первого порядка. Уравнение называется общим уравнением прямой. При различных значениях оно определяет все возможные прямые.

Д)Неполные уравнения первой степени. Уравнение прямой в «отрезках». Рассмотрим три частных случая, когда уравнение является неполным, т.е. один из коэффициентов равен нулю:

1) ; уравнение имеет вид и определяет прямую, проходящую через начало координат;

2) ; уравнение имеет вид и определяет прямую, параллельную оси . В частности, уравнение определяет ось ординат;

3) ; уравнение имеет вид и определяет прямую, параллельную оси . В частности, уравнение определяет ось абсцисс.

Если ни один из коэффициентов не равен нулю, то уравнение (2) приводится к виду

,

который называется уравнением прямой «в отрезках». Числа и является величинами отрезков, которые прямая отсекает на осях координат. Эта форма уравнения удобна для геометрического построения прямой.

12². Взаимное расположение двух прямых на плоскости.

Пусть прямые и заданы уравнениями:

(2)

Если , то прямые L₁ и L₂ пересекаются в одной точке с координатами

.

Пусть теперь . Возможны два случая:

1. и Тогда имеем , где – некоторое число, и уравнения (2) определяют одну и ту же прямую.

2. ( . В этом случае прямые L₁ и L₂ параллельны

Итак, две прямые на плоскости либо пересекаются в одной точке, либо совпадают, либо параллельны.

12³. Угол между прямыми.

Р ассмотрим две прямые и . Пусть уравнение имеет вид , где , уравнение – вид , где , а – угол между прямыми и , (рис.1).

Тогда один из углов между прямыми определяется условием

, (1)

а второй угол равен .

12⁴. Расстояние от точки до прямой.

Расстояние от точки до прямой, заданной общим уравнением , определяется равенством

.