7. Однородные системы линейных алгебраических уравнений. Фундаментальная система решений.

7¹. Однородные системы линейных алгебраических уравнений.

Однородной системой линейных уравнений называется система вида:

Нулевое решение   системы (1) называется тривиальным решением.

Однородные системы всегда совместны, т.к. всегда существует тривиальное решение.

Если существует любое ненулевое решение системы, то оно называется нетривиальным.

Решения однородной системы обладают свойством линейности:

Теорема (о линейном решении однородных систем). Пусть   — решения однородной системы (1),   — произвольные константы. Тогда   также является решением рассматриваемой системы.

Теорема (о структуре общего решения). Пусть  , тогда:

• если  , где   — число переменных системы, то существует только тривиальное решение;

• если  , то существует   линейно независимых решений рассматриваемой системы:  , причём её общее решение имеет вид:  , где   — некоторые константы.

Свойства однородной системы

1. Однородная система совместна, поскольку всегда имеет нулевое (тривиальное) решение. 2. Пусть  и

  - два решения однородной системы   (1). Линейная комбинация этих решений , где также является решением системы.   Более того, линейная комбинация любого конечного числа решений однородной системы (1) также является решением этой системы.

3. Если система (1) имеет хотя бы одно ненулевое решение, то она имеет бесконечно много решений.

7². Фундаментальная система решений.

Определение. Совокупность решений   однородной системы (1) называется фундаментальной системой решений, если

1)  - линейно независимы,

2) любое решение системы  представимо в виде линейной комбинации , т.е.  не все равные нулю, такие, что .

Определение. Решение системы (1) вида , где  - фундаментальная система решений;  - произвольные действительные постоянные, представляющее всевозможные решения системы (1) называют общим решением однородной системы.

4. Теорема (о фундаментальной системе решений) Если ранг  матрицы   однородной системы (1) меньше числа неизвестных , то система имеет фундаментальную систему решений, состоящую из  решений.

8. Декартова система координат. Понятие вектора. Линейные операции над векторами. Координаты вектора. Линейная зависимость и независимость векторов. Понятие базиса.

8¹. Декартова система координат.

Осью называют прямую с выбранными на ней направлением, началом отсчета и единицей масштаба. Две взаимно перпендикулярные оси Ох и Оу, имеющие общее начало отсчета О и одинаковую единицу масштаба (рис. 1), образуют (декартову) прямоугольную систему координат на плоскости.

Ось Ох называется осью абсцисс, ось Оу – осью ординат. Точка О пересечения осей называется началом координат. Плоскость, в которой расположены оси Ох и Оу, называется координатной плоскостью и обозначается Оху.

Рис. 1 Рис. 2

Координаты х и у точки М называются ее абсциссой и ординатой.

Точку М, имеющую координаты х и у, обозначают через М(х; у).

Прямоугольная система координат на плоскости устанавливает взаимно однозначное соответствие между множеством всех точек плоскости и множеством упорядоченных пар чисел.

Оси координат разбивают плоскость на четыре части, их называют четвертями, квадрантами или координатными углами и нумеруют римскими цифрами I, II, III, IV так, как показано на рис. 2.

Для любых двух точек и плоскости расстояние d между ними выражается формулой

.

Декартова система координат в пространстве. Система координат Охуz определяется заданием масштабной единицы измерения длин и трех пересекающихся в одной точке взаимно перпендикулярных осей: Ох, Оу, Оz. Точка О – начало координат, Ох – ось абсцисс, Оу – ось ординат, Оz – ось аппликат.

Декартова система координат в пространстве устанавливает взаимно однозначное соответствие между множеством всех точек пространства и множеством упорядоченных троек чисел. Плоскости Оху, Оуz, Охz назовем координатными плоскостями. Они делят все пространство на восемь частей, называемых октантами.

8². Понятие вектора.

Свободным вектором называется направленный отрезок (то есть отрезок, для которого определены начало и конец) при произвольности его положения на плоскости или в пространстве. Направление вектора на рисунке указывают стрелкой (рис. 1). Вектор нулевой длины называется нулевым и обозначается .

Связанным вектором ( )с началом в точке А и концом в точке В называют направленный отрезок, в котором точка А является началом, а точка В – концом. Начало вектора называют еще точкой его приложения.

Векторы также обозначают одной буквой с чертой над ней, например, .

В екторы и называются коллинеарными (параллельными), если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Коллинеарность векторов обозначается через .

Коллинеарные векторы могут быть сонаправлеными, (рис. 2б) или противоположно направлеными (рис. 2а).

Векторы и называются равными ( ), если они имеют одинаковую длину и сонаправлены.

В екторы, имеющие противоположные направления и равные длины, называются противоположными. Вектор, противоположный вектору , обозначается .

Векторы называют компланарными, если существует плоскость, которой они все параллельны. Нулевой вектор коллинеарен любому вектору, и поэтому компланарен с любыми двумя векторами.

Рис. 3

Меньший из этих углов (на рис. 3 это угол ) назовем углом между векторами и и обозначим .

Очевидно, что . Если , то векторы и называют ортогональными. Нулевой вектор ортогонален всякому вектору по определению.

8³. Линейные операции над векторами.

Пусть даны два вектора и . Суммой называется вектор, который имеет началом начало вектора и концом – конец вектора при условии, что начало вектора совпадает с концом вектора

Сумму неколлинеарных векторов и можно найти по правилу треугольника (рис. 1а)) или параллелограмма (рис. 1б)).

Рис. 1а) Рис. 1б)

Если и то .

Можно найти сумму любого числа заданных векторов.

Разностью векторов и называется вектор , который в сумме с вектором дает вектор . Если , то .

Пусть даны вектор и число Произведением называют вектор, который коллинеарен вектору , имеет длину, равную , и направление такое же, как и вектор , если , и противоположное, если (рис. 2). Если , то .

Основные свойства линейных операций.

1. (коммутативность сложения),

2. (ассоциативность сложения),

3. (ассоциативность умножения на число),

4. (дистрибутивность относительно суммы чисел),

5. (дистрибутивность относительно суммы векторов).

Векторы и коллинеарны в том и только том случае, когда их координаты пропорциональны, то есть найдется такое число , что если , то .

8⁴. Координаты вектора.

Пусть в пространстве задана декартова система координат и произвольный вектор . Если известны координаты начала и конца вектора: и , то координаты вектора определяются формулами: .

Будем писать (символ для краткости, как правило, далее опускаем).

8⁵. Линейная зависимость и независимость векторов.

Пусть каждый из векторов x1(a1,a2,..an) есть n-мерный вектор.

Вектор x называется линейной комбинацией векторов a1, a2…an, если найдутся такие действительные числа λ1, λ2,…λm, что вектор x можно записать в виде равенства x = λ1a1+λ2a2+…λmam.

Векторы a1, a2, … an называются линейнозависимыми, если существуют такие числа λ1, λ2, λm, не все одновременно = 0, что λ1a1+λ2a2+…λmam = 0.

Если λ1a1+λ2a2+…λmam = 0 выполняется только при λ1 = λ2 =… λm = 0, то векторы называются линейнонезависимыми.

Теорема: 2 неколлинеарных вектора линейнонезависимы.

Даны два неколлинеарных вектора. Доказать, что они линейно независимы.

Предположим иное: векторы а1 и а2 линейно зависи­мы. Тогда существуют не равные одновременно нулю числа λ1 и λ2 и выполняется равенство λ1a1+λ2a2 = 0. Пусть λ1≠0, тогда a1 = -λ2a2/λ1. a1 = ka2, где k = -λ2/λ1

Значит, векторы a1 и a2 коллинеарны, что противоречит условию.

Свойства линейных зависимостей векторов.

1) Если среди нескольких векторов 1 есть линейная комбинация части остальных, то весь набор векторов линейно зависим.

x, a₁, a₂…a_m, x = λ₁a₁+λ₂a₂+…λ_ka_k, k≤m

λ₁a₁+λ₂a₂+…λ_ka_k+0*a_k+1+…+0*a_m+(-1)x = 0 – линейная комбинация, в которой не все λ_i одновременно = 0, значит векторы x, a₁, a₂,…a_m – линейно зависимы.

2) если среди набора векторов a₁, a₂,…a_m есть нулевой вектор, то весь набор векторов линейно зависим.

λ₁a₁+λ₂a₂+…+λ_ma_m пусть a₁ = 0 λ₁ = 1 1*0+0*a₂+…+0*a_m = 0

3) если векторы a₁, a₂…a_m линейно независимы и существует вектор x, являющийся линейной комбинацией этих векторов, то коэффициенты λ₁,λ₂,λ_m определяются единственным образом.

x = λ₁a₁+λ₂a₂+…+λ_ma_m.

Предположим, что x можно представить как 2 линейные комбинации с различными коэффициентами.

1) x = λ₁a₁+λ₂a₂+…+λ_ma_m.

2) x = µ₁a₁+µ₂a₂+…+µ_ma_m.

λ₁a₁+λ₂a₂+…+λ_ma_m = µ₁a₁+µ₂a₂+…+µ_ma_m

(λ₁-µ₁)a₁+(λ₂-µ₂)a₂+(λ_n-µ_n)a_n = 0

Следовательно:

λ₁-µ₁ = 0 λ₁=µ₁

λ₂-µ₂ = 0 λ₂=µ₂

λ_m-µ_m = 0 λ_m=µ_m

8⁶. Понятие базиса.

Р ассмотрим декартову систему координат Охуz. Пусть – единичные векторы соответствующих осей координат Ох, Оу, Оz, т.е. и каждый из них одинаково направлен с соответствующей осью координат (рис. 1). Тройка векторов называется базисом.

Теорема 1. Любой вектор можно единственным образом разложить по базису , т.е. представить в виде ,где - числа.