Метод Гаусса.
Распространенным точным методом решения систем линейных алгебраических уравнений является метод Гаусса, который применяется для решения произвольных систем линейных алгебраических уравнений. Суть метода состоит в том, что посредством элементарных преобразований система линейных алгебраических уравнений приводится к треугольной или трапециевидной форме (прямой ход метода Гаусса), при помощи которой непосредственно получаются все решения системы (обратный ход метода Гаусса).
На
практике прямой
ход метода Гаусса как правило применяется
не к системе уравнений, а к ее
расширенной матрице
и
формализуется следующим образом:
А).
Рассмотрим элемент, стоящий в первой
строке и в первом столбце матрицы
.
Если этот элемент оказался равным нулю,
то переставляем строки матрицы таким
образом, чтобы в первой строке, в первом
столбце оказался ненулевой элемент.
Обозначим этот элемент через
и назовем его разрешающим на первом
шаге. Пересчитаем элементы матрицы
по следующим правилам:
1) строку, в которой стоит разрешающий элемент, назовем разрешающей; столбец, в котором стоит разрешающий элемент − разрешающим;
2) элементы разрешающей строки и всех вышерасположенных строк (на первом шаге только элементы разрешающей строки) остаются неизменными;
3) элементы разрешающего столбца, расположенные ниже разрешающего элемента, обращаются в нули;
4) все остальные элементы матрицы вычисляются согласно следующему правилу прямоугольника. Из четырех элементов матрицы составляется прямоугольник таким образом, что разрешающий элемент и элемент, который пересчитывается, образуют главную диагональ этого прямоугольника. Новое значение пересчитываемого элемента вычисляется как разность произведений элементов главной и побочной диагоналей.
Б) В полученной
таблице рассмотрим элемент, стоящий во
второй строке и втором столбце. Обозначим
его через
.
Будем считать, что выполняется неравенство
.
В противном случае вторую строку меняем
местами со строкой, имеющей больший
номер, таким образом, чтобы во второй
строке, втором столбце оказался ненулевой
элемент. Если во втором столбце и
рассматриваемых строках не нашлось
ненулевого элемента, то переставляем
местами второй столбец и столбец с
большим номером таким образом, чтобы
элемент, стоящий во второй строке, втором
столбце, не был равен нулю. Теперь назовем
элемент
− разрешающим на этом шаге и пересчитаем
элементы матрицы по правилам 1)-4).
В) Применяем правила 1)-4), двигаясь по строкам матрицы вниз, выбирая в качестве разрешающего элемента ненулевой элемент, стоящий на пересечении стоки и столбца с номерами, совпадающими с номером шага. Если в процессе преобразований образуется строка, состоящая из нулей, то эту строку удаляем.
Для выполнения обратного хода метода Гаусса возвращаемся от преобразованной матрицы системы к системе уравнений. При этом, если в процессе прямого хода метода производилась перестановка столбцов, то в системе, соответствующей преобразованной матрице, должно быть выполнено соответствующее переименование переменных.
Если
в полученной системе встретится уравнение
вида
,
где
,
то исходная система несовместна. В
противном случае − совместна.
Совместная система после преобразований имеет вид:
(1)
где
коэффициенты
отличны от нуля. Для произвольной системы
справедливы неравенства
.
Неравенство
выполняется в тех случаях, когда в
процессе прямого хода метода удалялись
нулевые строки (т.е. удалялись уравнения
вида
.)
В
процессе обратного хода метода Гаусса
находятся все решения системы. Если в
системе (1)
,
то она имеет треугольный вид. Из последнего
уравнения
находим
,
из предпоследнего –
и т.д. и, наконец, из первого –
,
и, тем самым, – единственное
решение исходной системы.
Если
,
то в результате обратного хода r
неизвестных можно выразить линейно
через остальные
неизвестных. Эти r
неизвестных
называют базисными,
а остальные
– свободными.
В результате получим общее решение
системы в виде:
(5)
Чтобы получить какое-нибудь частное решение исходной системы, нужно придать свободным неизвестным некоторые числовые значения. Ясно, что в случае r < п система имеет бесконечное множество решений.