4. Ранг матрицы. Вычисление ранга матрицы методом окаймляющих миноров и с помощью элементарных преобразований.

4¹. Ранг матрицы.

Рассмотрим прямоугольную матрицу вида:

. (1)

Выберем некоторые строк и некоторые столбцов матрицы (1). Из элементов, стоящих на пересечении выбранных строк и столбцов, составим матрицу. Определитель полученной матрицы называется минором порядка .

Рангом матрицы называется наибольший порядок ее ненулевого минора.

Для ранга матрицы используют следующие обозначения: или просто , когда ясно, о какой матрице идет речь.

Свойства ранга матрицы:

1) Для матрицы справедливо .

2) Равенство справедливо тогда и только тогда, когда – нулевая матрица.

3) Для квадратной матрицы порядка имеем тогда и только тогда, когда ─ невырожденая.

4) Для любой матрицы справедливо .

Для нахождения ранга матрицы можно использовать метод окаймляющих миноров. Сначала проявляют, если у матрицы ненулевые элементы. Если все элементы матрицы равны 0, то rank этой матрицы равен 0. Если есть ненулевой элемент, то рассматриваются миноры второго порядка, включающий в себя этот ненулевой элемент. Если все эти миноры равны 0, то rank матрицы равен 1. При наличии не нулевого минора второго порядка рассматриваются миноры третьего порядка, включающий этот минор второго порядка. Процесс продолжается до тех пор, пока не станет ясно, что все миноры порядка k+1 равны 0, тогда rank матрицы будет равен k.

4². Вычисление ранга матрицы методом окаймляющих миноров и с помощью элементарных преобразований.

Удобным для практического применения является следующий способ нахождения ранга матрицы. С помощью элементарных преобразований матрицу приводят к трапециевидной форме:

.

Ранг матрицы легко находится. Действительно, матрица имеет ненулевой минор порядка , расположенный в левом верхнем углу и равный , а все миноры порядка равны нулю, так как содержат нулевую строку. Элементарные преобразования не изменяют ранга матрицы, поэтому ранг исходной матрицы равен рангу матрицы . Таким образом, .

Пример 1. Определить ранг матрицы

.

Решение. Вычтем из четвертого столбца элементы третьего столбца, умноженного на два:

   .

Ранг матрицы равен 3. Значит, . □

Утверждение 1. Если матрицу А умножить слева (или справа) на невырожденную матрицу B (С), то ранг полученной матрицы будет равен рангу матрицы A, т.е. (или , если .

Окаймляющим минором для минора порядка матрицы назовем минор порядка этой матрицы, который содержит минор .

Для вычисления ранга матрицы можно использовать метод окаймляющих миноров, который основывается на следующем факте: если матрица А имеет ненулевой минор порядка и все его окаймляющие миноры равны нулю или не существуют, то ранг матрицы А равен .

Пример 2. Определить ранг матрицы

.

Решение. Ненулевой минор второго порядка этой матрицы . Все окаймляющие его миноры третьего порядка равны нулю. Значит, . □

5. Системы линейных алгебраических уравнений. Теорема Кронекера-Капелли. Формулы Крамера.

5¹. Системы линейных алгебраических уравнений.

Системой m линейных алгебраических уравнений с неизвестными называется система вида

(1)

Числа , называются коэффициентами системы, а числа , , – свободными членами.

Если все , , то система называется однородной; если хотя бы один из свободных членов ненулевой, то система (1) называется неоднородной.

Решением системы (1) называется любая упорядоченная совокупность чисел , которая при подстановке в каждое уравнение системы (1) на место соответствующих неизвестных, обращает его в тождество. Система (1) называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, в противном случае – несовместной. Совместная система, имеющая только одно решение (больше, чем одно решение), называется определенной (неопределенной).

Систему (1) можно записать в матричном виде: ,

где − матрица системы,

− матрица-столбец неизвестных;

− матрица-столбец свободных членов.

Используя матрицы-столбцы коэффициентов системы (1), ее можно записать также в виде:

.

Две системы называют эквивалентными или равнозначными, если они имеют одно и то же множество решений. Считаем, что всякие две несовместные системы с одинаковым числом неизвестных – эквивалентны.

Элементарными преобразованиями линейной системы называются следующие:

1) умножение уравнения системы на ненулевое число;

2) прибавление к одному уравнению системы другого ее уравнения, умноженного на произвольное число;

3) перестановка местами двух уравнений системы;

4) вычеркивание уравнения, все коэффициенты которого равны нулю.

Утверждение 1. Применение элементарных преобразований приводит к эквивалентной системе.

Матрица называется расширенной матрицей системы (1).

5². Теорема 1 (Кронекера-Капелли). Для совместности системы линейных алгебраических уравнений необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы системы был равен рангу ее расширенной матрицы.

Следствие 1. Если ранг матрицы системы меньше ранга ее расширенной матрицы, то система несовместна.

Rank (А/b) = rankА

Пример 1. Исследовать на совместность систему

Решение. .

Имеем . Система несовместна, так как rank А не равен матрице расширенной.

5³. Формулы Крамера.

(1)

Определителем системы назовем определитель ее матрицы.

Пусть в этом случае система (1) называется невырожденной и ее решение можно найти по формуле

(2)

В формуле (2) заключается метод обратной матрицы решения невырожденной системы вида (1).

Из формулы (2) для нахождения решения системы (1) выводятся формулы Крамера

,

где – определитель, который получается из определителя системы D путем замены j-го столбца на столбец свободных членов.

D – опред. системы