Доказательство

Возьмем произвольное фиксированное число x   (a,b).

По условию теоремы

Следовательно, в малой окрестности числа x₀ можно определить функцию α = α(Δx), стремящуюся к нулю при   такую, что

Но тогда   и, следовательно, функция f непрерывна при x = x₀. Так как число x₀ – произвольное, то функция fнепрерывна на всем интервале (a, b).

Теорема доказана.

Из доказанной теоремы непосредственно вытекает, что в точках разрыва функция не может быть дифференцируемой.

Однако из непрерывности функции на интервале (a, b) не следует дифферецируемость функции в каждой точке интервала (a, b). Например, функция   непрерывна на всей числовой прямой, но эта функция недифференцируема при x = 0. В самом деле, предел (1) не зависит от знака приращения аргумента Δx. Для функции же   имеем, если x = 0придать приращение Δx > 0, то Δy = Δx, а если Δx < 0, то Δy = − Δx. Таким образом,

Следовательно, функция   недифференцируема при x = 0.

46. Теоремы Ролля, Лагранжа и Коши. Правило Лопиталя.

Теорема Ролля. Пусть функция f непрерывна на отрезке , дифференцируема на интервале и на концах отрезка принимает равные значения, то есть . Тогда существует точка , в которой .

Геометрический смысл этой теоремы заключается в том, что у графика непрерывной на отрезке , дифференцируемой на и принимающей на концах равные значения функции , существует точка , в которой касательная параллельна оси Ox (рис.2)

Теорема Лагранжа. Если функция f непрерывна на отрезке , дифференцируема на интервале , то существует точка , такая, что справедлива формула:

. (3)

Рассмотрим геометрический смысл теоремы Лагранжа.

И з (рис. 3) имеем, что , т.е. левая часть равенства (3) есть тангенс угла наклона секущей MN к оси Ox. Правая часть равенства (3) есть тангенс угла наклона касательной в некоторой точке , .

Таким образом, теорема Лагранжа утверждает, что найдется точка , , в которой касательная к графику функции параллельна секущей, соединяющей концы графика функции (точки и ).

Соотношение (3) можно записать в виде

. (5)

Формулу (5) называют формулой конечных приращений.

Теорема Коши. Если функции f и g непрерывны на отрезке , дифференцируемы на интервале , причем , то существует точка , такая, что справедливо равенство

. (6)

Правило Лопиталя

Неопределенности вида .

Теорема 1 (правило Лопиталя). Пусть функции и непрерывны и дифференцируемы в окрестности точки , за исключением, быть может, точки а; и в указанной окрестности. Тогда, если существует , то существует также и , причем

. (1)

Замечание 1. В частности, в формулировке теоремы 1 речь может идти о правом или левом пределе, и тогда под окрестностью точки а понимается правая или левая ее окрестности.

Правило Лопиталя остается в силе и в случае или . В частности, если функции и являются бесконечно малыми функциями при и существует , то .

Итак, рассмотрен случай нахождения предела частного , когда функции и являются бесконечно малыми функциями при В случае, когда функции и являются бесконечно большими функциями при можно показать, что имеет место утверждение, аналогичное теореме 1. При этом можно полагать, что или .