44. Дифференцирование функций, заданных параметрически и неявно. Производные и дифференциалы высших порядков.

44¹. Дифференцирование функций, заданных параметрически и неявно.

Неявно заданная функция

Если функция задана уравнением у=ƒ(х), разрешенным относительно у, то функция задана в явном виде (явная функция).

Под неявным заданием функции понимают задание функции в виде уравнения F(x;y)=0, не разрешенного относительно у.

Всякую явно заданную функцию у=ƒ (х) можно записать как неявно заданную уравнением ƒ(х)-у=0, но не наоборот.

Не всегда легко, а иногда и невозможно разрешить уравнение относительно у (например, у+2х+cosy-1=0 или 2^у-х+у=0).

Если неявная функция задана уравнением F(x; у)=0, то для нахождения производной от у по х нет необходимости разрешать уравнение относительно у: достаточно продифференцировать это уравнение по x, рассматривая при этом у как функцию х, и полученное затем уравнение разрешить относительно у'.

Производная неявной функции выражается через аргумент х и функцию у.

Функция, заданная параметрически

Будем говорить, что переменная y как функция аргумента x задана параметрически, если обе переменные x и y заданы как функции некоторой третьей переменной t, называемой параметром.

Параметрические уравнения играют важную роль, например, в механике, где координаты и движущейся точки рассматриваются как функции времени.

Пусть зависимость между аргументом х и функцией у задана параметрически в виде двух уравнений

где t — вспомогательная переменная, называемая параметром.

Найдем производную у'_х, считая, что функции (21.1) имеют производные и что функция х=x(t) имеет обратную t=φ(х). По правилу дифференцирования обратной функции

Функцию у=ƒ(х), определяемую параметрическими уравнениями (21.1), можно рассматривать как сложную функцию у=y(t), где t=φ(х). По правилу дифференцирования сложной функции имеем: у'_х=y'_t•t'_x. С учетом равенства (21.2) получаем

Полученная формула позволяет находить производную у'_х от функции заданной параметрически, не находя непосредственной зависимости у от х.

442. Производные и дифференциалы высших порядков.

Пусть функция имеет производную в каждой точке . Тогда на промежутке будет определена функция , и можно говорить о производной этой функции.

Производной второго порядка функции называется производная от производной первого порядка , если она существует, и обозначается .

Производную от второй производной называют производной третьего порядка и обозначают .

Аналогично производная n-го порядка является производной от производной -го порядка и обозначается .

Производные высших порядков широко применяются, в частности, в физике. Выясним, например, физический смысл второй производной.

Пусть материальная точка движется прямолинейно и пройденный ею путь описывается уравнением , t – время. Как известно из § 1, первая производная от пути по времени есть мгновенная скорость движения точки в момент времени : . Тогда вторая производная от пути по времени равна скорости изменения функции скорости . А это есть ускорение a(t) материальной точки в момент времени t. Таким образом, вторая производная от пути по времени есть ускорение, т.е. .

Найдем производные n-го порядка для некоторых элементарных функций.

1)  Найдем степенной функции , . Очевидно, , ,…, .

Если предположить, что , то

, .

2)  Замечательным свойством обладает показательная функция . Для любого n справедлива формула

.

3)  Найдем n-ую производную функции . Будем иметь

,

.

Можно показать, что

. (1)

4) Аналогично,

. (2)