Замечательные пределы.
Предел
функции
при
.
Имеет место соотношение
, (1)
называемое первым замечательным пределом
Второй
замечательный предел. Как
известно, предел числовой
последовательности
равен е.
Оказывается, что
. (2)
Если
в (2) положить
(
при
),
то это равенство примет вид
. (3)
Равенства (2) и (3) называют вторым замечательным пределом.
Функции, непрерывные на отрезке, и их свойства. Теорема об устойчивости знака непрерывной функции, теоремы Больцано-Коши о промежуточном значении.
Функция
называется непрерывной на интервале
,
если она непрерывна в каждой точке
.
Если же, кроме того, функция
непрерывна в точке а справа, а в
точке
– слева, то функция
называется непрерывной на отрезке
.
Функция называется кусочно-непрерывной на отрезке , если она непрерывна во всех внутренних точках , за исключением конечного числа точек, в которых она имеет разрывы первого рода, а в точках а и имеет соответствующие односторонние пределы.
Монотонность и непрерывность. Будем считать, что функция задана на отрезке .
Утверждение 1. Монотонная на отрезке функция может иметь точки разрыва только первого рода.
Согласно этому утверждению, множество значений монотонной функции будет отрезком в том и только в том случае, если – непрерывная функция на отрезке .
Утверждение
2 (об устойчивости знака непрерывной
функции). Пусть функция
непрерывна в точке
и
.
Тогда существует
-окрестность
точки
,
такая, что в этой окрестности функция
имеет тот же знак, что и
.
Г
еометрический
смысл этого утверждения состоит в том,
что, если функция
непрерывна в точке
и отлична в ней от нуля, то некоторая
часть графика этой функции, проходящая
через точку
,
не пересекает ось
(рис. 1).
Теорема 1 (первая теорема Больцано-Коши). Пусть функция непрерывна на отрезке и на концах отрезка имеет значения разных знаков. Тогда существует точка , в которой .
Г
еометрический
смысл этой теоремы также очевиден.
Поскольку функция
непрерывна на отрезке, то ее график
состоит из одного «сплошного» куска.
Эта кривая соединяет точки
,
,
одна из которых лежит ниже оси Ox,
вторая – выше оси Ox. Следовательно,
существует точка с на оси Ox, в
которой график пересекает ось Ox
(рис. 2).
Теорема
2 (вторая теорема Больцано-Коши). Пусть
функция
непрерывна на
отрезке
,
причем
.
Тогда, если С – любое число,
лежащее строго между
и
,
то существует точка
,
такая, что
.
Другими словами, непрерывная на отрезке функция принимает любое свое промежуточное значение.
Г
еометрический
смысл этой теоремы показан на рис. 3.
Теорема 3 (первая теорема Вейерштрасса). Если функция непрерывна на отрезке , то она ограничена.
Таким
образом, если функция
непрерывна на отрезке
,
то существует число
такое, что
Заметим,
что если в теореме 3 вместо отрезка
рассматривать интервал
или какой-либо полуинтервал, то функция
может быть и неограниченной, т. е. в
этом случае утверждение об ограниченности
несправедливо. Например, функция
непрерывна на полуинтервале
,
но не ограничена на нем.
Теорема 4 (вторая теорема Вейерштрасса). Непрерывная на отрезке функция достигает в некоторых точках отрезка своих точных верхней и нижней границ, т.е. существуют точки и , принадлежащие , для которых имеет место
,
.
Таким
образом,
для всех
.
Поскольку непрерывная на отрезке функция достигает в некоторых точках своих точных верхней и нижней границ, то можно называть точную верхнюю границу максимальным значением функции, а точную нижнюю границу – ее минимальным значением на отрезке .
Обратная функция и её непрерывность.
Обра́тная фу́нкция — функция, обращающая зависимость, выражаемую данной функцией.
Имеет место следующая
Теорема 1.
Если функция
непрерывна и монотонна на отрезке
,
то на множестве ее значений
существует монотонная, непрерывная
обратная функция.
Ф
ункции
,
обратные функциям
,
в силу названного свойства непрерывны
при всех значениях
,
при которых эти функции определены.
Пример
1. Функция
непрерывна и монотонна на отрезке
.
Образом этого отрезка, посредством
функции
,
является отрезок
.
На основании приведенного свойства
существует определенная на отрезке
,
обратная к функции
,
непрерывная возрастающая функция
.
Для функции
,
рассматриваемой на всей действительной
оси, не существует обратной функции,
так как
,
,
т.е. каждому
соответствует
множество значений
,
определяемых указанной формулой.
□