36. Бесконечно малые и бесконечно большие функции. Сравнение бесконечно малых функций. Эквивалентные функции и их применение к вычислению пределов.

36¹. Бесконечно малые и бесконечно большие функции.

Определение и основные свойства. Функция называется бесконечно малой при , если .

Функция называется бесконечно большой при , если .

Например, функция есть бесконечно большая функция при .

Утверждение 1. Для того, чтобы функция при была бесконечно малой функцией, необходимо и достаточно, чтобы функция была бесконечно большой функцией при .

Для бесконечно малой функции выполняются те же свойства, что и для бесконечно малых последовательностей.

Связь между функцией, ее пределом и бесконечно малой функцией.

Теорема 1. Для того, чтобы функция имела предел в точке , равный b, необходимо и достаточно, чтобы функция была бесконечно малой функцией при .

36². Сравнение бесконечно малых функций.

Как известно, сумма, разность и произведение двух бесконечно малых функций есть функция бесконечно малая (см. § 6). Отношение же двух бесконечно малых функций может быть конечным числом или вообще не имеет предела.

Пусть и – бесконечно малые функции при , т.е. и . Тогда:

1. Если , то и называются бесконечно малыми одного порядка.

2. Если , то называется бесконечно малой более высокого порядка, чем .

3. Если , то называется бесконечно малой более низкого порядка, чем .

4. Если не существует, то и называются несравнимыми бесконечно малыми функциями.

36³. Эквивалентные функции и их применение к вычислению пределов.

Если , то и называются эквивалентными бесконечно малыми функциями (при ) и обозначаются: при .

Например, при , т. к. .

Для эквивалентных бесконечно малых функций справедливы следующие утверждения:

1. Предел отношения двух бесконечно малых функций не изменится, если каждую (или одну из них) заменить эквивалентной ей бесконечно малой функцией.

2. Разность двух эквивалентных бесконечно малых функций есть бесконечно малая функция более высокого порядка, чем каждая из них.

3. Сумма конечного числа бесконечно малых функций разных порядков эквивалентна слагаемому низшего порядка.

Докажем последнее утверждение для двух функций.

Пусть при , причем – бесконечно малая функция более высокого порядка, чем , т.е. . Тогда

.

Следовательно, при . □

Слагаемое, эквивалентное сумме бесконечно малых функций, называется главной частью этой суммы.

Применение эквивалентных бесконечно малых функций к вычислению пределов. Для раскрытия неопределенностей вида часто бывает полезным применять замену бесконечно малой функции на эквивалентную ей.

Приведем важнейшие эквивалентности, которые используются при вычислении пределов:

1. при ;

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10. в частности .

37. Непрерывность функции в точке и на отрезке. Свойства функций, непрерывных в точке.

37¹. Непрерывность функции в точке и на отрезке.

Непрерывность функции в точке

Пусть функция определена в некоторой окрестности точки . Функция называется непрерывной в точке а, если

. (1)

Равенство (1) означает выполнение трех условий:

1) функция определена в точке и в некоторой ее окрестности;

2) функция имеет предел при ;

3) предел функции в точке а равен значению функции в этой точке.

Так как , то равенство (1) можно записать в виде

.

Это означает, что при нахождении предела непрерывной функции можно перейти к пределу под знаком функции, т.е. в функцию вместо аргумента подставить его предельное значение.

Например, .

Если , то функция называется непрерывной в точке а справа; если , то – непрерывной в точке а слева.

На основании изложенного заключаем: для того, чтобы функция была непрерывной в точке а, необходимо и достаточно, чтобы она была непрерывной в этой точке справа и слева.

Приведем еще одно определение функции, непрерывной в точке .

Равенство (1) равносильно следующему: .

Если учесть, что соотношения и также равносильны, то получим, что условие непрерывности функции в точке а запишется в виде

. (2)

Разность называют приращением независимой переменной в точке а и обозначают через , а разность – приращением функции в точке а и обозначают . Теперь условие (2) можно записать так:

. (3)

Заметим здесь, что и .

Тогда новое определение непрерывности функции в точке будет следующим.

Функция называется непрерывной в точке а, если ее приращение в этой точке есть бесконечно малая функция.

Г еометрический смысл этого определения показан на рис.1.

Функции, непрерывные на отрезке, и их свойства

Функция называется непрерывной на интервале , если она непрерывна в каждой точке . Если же, кроме того, функция непрерывна в точке а справа, а в точке – слева, то функция называется непрерывной на отрезке .

Функция называется кусочно-непрерывной на отрезке , если она непрерывна во всех внутренних точках , за исключением конечного числа точек, в которых она имеет разрывы первого рода, а в точках а и имеет соответствующие односторонние пределы.

Утверждение 1. Монотонная на отрезке функция может иметь точки разрыва только первого рода.

Согласно этому утверждению, множество значений монотонной функции будет отрезком в том и только в том случае, если – непрерывная функция на отрезке .

Утверждение 2 (об устойчивости знака непрерывной функции). Пусть функция непрерывна в точке и . Тогда существует -окрестность точки , такая, что в этой окрестности функция имеет тот же знак, что и .

Г еометрический смысл этого утверждения состоит в том, что, если функция непрерывна в точке и отлична в ней от нуля, то некоторая часть графика этой функции, проходящая через точку , не пересекает ось (рис. 1).

Теорема 1 (первая теорема Больцано-Коши). Пусть функция непрерывна на отрезке и на концах отрезка имеет значения разных знаков. Тогда существует точка , в которой .

Г еометрический смысл этой теоремы также очевиден. Поскольку функция непрерывна на отрезке, то ее график состоит из одного «сплошного» куска. Эта кривая соединяет точки , , одна из которых лежит ниже оси Ox, вторая – выше оси Ox. Следовательно, существует точка с на оси Ox, в которой график пересекает ось Ox (рис. 2).

Т еорема 2 (вторая теорема Больцано-Коши). Пусть функция непрерывна на отрезке , причем . Тогда, если С – любое число, лежащее строго между и , то существует точка , такая, что .

Другими словами, непрерывная на отрезке функция принимает любое свое промежуточное значение.

Геометрический смысл этой теоремы показан на рис. 3.

37². Свойства функций, непрерывных в точке.

Основные свойства функций, непрерывных в точке, непосредственно следуют из соответствующих свойств их пределов.

Свойство 1. Пусть функции и непрерывны в точке . Тогда функции также непрерывны в этой точке (последняя при условии, что ).

Свойство 2. Пусть функция непрерывна в точке , а функция непрерывна в точке . Тогда сложная функция непрерывна в точке .

Непрерывность элементарных функций. Эементарной называется такая функция, которую можно задать одной формулой, содержащей конечное число арифметических действий и суперпозиций (операция взятия функции от функции) основных элементарных функций. Поэтому из приведенных свойств о пределах и непрерывности функций вытекает, что всякая элементарная функция непрерывна в каждой точке, в которой она определена.

Этот результат позволяет легко находить пределы элементарных функций в точках, где они определены.