30. Признак кратности корня.

Утверждение 3. Если – корень кратности k многочлена , то является корнем кратности его производной .

Доказательство. Действительно, если − корень кратности k многочлена , то имеет место представление

. (5)

Дифференцируя это равенство, получаем

,

где , т.е. является корнем кратности производной . □

Следствие 1. Для того, чтобы число было корнем кратности , многочлена необходимо и достаточно, чтобы

. (6)

33. Множество действительных чисел. Модуль действительного числа. Ограниченные и неограниченные числовые множества. Наибольший и наименьший элементы числового множества. Верхняя и нижняя грани числового множества.

33¹. Множество действительных чисел.

Целые положительные числа 1,2,3… называются натуральными. Множество натуральных чисел обозначают  N.

Рациональные числа – все целые, нуль и дробные числа.

Каждое рациональное число можно представить в виде  , где p – целое число, q – натуральное число.

Рациональное число можно представить также в виде периодической десятичной дроби. Иррациональные числа – бесконечная непериодическая дробь.

Все рациональные и иррациональные числа образуют множество действительных чисел, которое обозначают R.

Каждое действительное число изображается точкой числовой оси и, обратно, каждой точке числовой оси соответствует единственное действительное число.

1.               Интервалом называется множество действительных чисел х, удовлетворяющих неравенству a < x < b, где a, b – действительные числа. Обозначается (a,b).

2.               Отрезком (сегментом) называется множество действительных чисел, удовлетворяющих неравенству a ≤ x ≤ b. Обозначается [a, b].

3.               Интервал длины 2ε, с центром в точке х₀ называют окрестностью точки х₀    х₀ – ε < х < х₀ + ε .

4.               Интервалы могут быть бесконечные: (а, + ∞), (- ∞, а), (-∞, +∞), [a, + ∞),

(- ∞, a].

33². Модуль действительного числа. Ограниченные и неограниченные числовые множества.

Абсолютная величина (модуль) действительного числа.

Определение. Абсолютной величиной (или модулем) действительного числа а называется неотрицательное действительное число, удовлетворяющее условиям:

Из определения следует, что а ≤ │а│ для любого а.

 

Свойства абсолютных величин.

1.           Абсолютная величина алгебраической суммы нескольких действительных чисел не больше суммы абсолютных величин слагаемых

.

2.           Абсолютная величина разности не меньше абсолютных величин уменьшаемого и вычитаемого

 .

3.           Абсолютная величина произведения равна произведению абсолютных величин

.

4.           Абсолютная величина частного равна частному абсолютных величин  делимого и делителя

.

Ограниченные и неограниченные числовые множества. 33⁴. Верхняя и нижняя грани числового множества.

Числовое множество А называется ограниченным сверху (снизу), если существует такое действительное число М (число т), что для каждого элемента х числового множества выполняется неравенство х≤M.При этом число М называется верхней границей (нижней границей) числового множества А. Геометрически это означает, что множество А расположено целиком слева от точки М, при этом не исключается, что сама точка М входит в А.

Числовое множество В называется ограниченным сверху, если существует такое действительное число m, что для каждого элемента х числового множества В выполняется неравенство х≥m. Число m называется нижней границей числового множества В. Множество В расположено целиком справа, от точки m, причем точка m может входить в него.

Ограниченное сверху числовое множество А имеет бесконечно много верхних границ.В самом деле, если М₁ является верхней границей множества А, то любое действительное число M₁>M₁ также является верхней границей множества А, так как для каждого элемента хƐА множества А выполняется неравенство х≤M₂.Аналогичное замечание можно сделать в отношении нижних границ ограниченного снизу множества.

Наименьшая из всех верхних границ ограниченного сверху числового множества А называется верхней гранью этого множества.

Наибольшая из всех нижних границ ограниченного снизу числового множества В называется нижней гранью этого множества.Иногда верхнюю (нижнюю) грань множества называют точной верхней (нижней) гранью множества.

К примеру, у множества отрицательных действительных чисел существует верхняя грань — число нуль, причем это число не принадлежит указанному множеству.

У множества натуральных чисел N существует нижняя грань , которая принадлежит указанному множеству.

Таким образом, верхняя (нижняя) грань числового множества может как принадлежать, так и не принадлежать этому множеству.

Числовое множество А называется ограниченным, если оно ограничено и снизу и сверху. Заметим, что любой отрезок является ограниченным множеством, так как нижней гранью этого множества является левый конец отрезка, а верхней гранью — правый конец. Неограниченные числовые множества не имеют хотя бы одной из границ. Примером неограниченного множества является любой неограниченный промежуток. Поэтому целесообразно множество упорядоченных пар действительных чисел называть числовой плоскостью, а любую упорядоченную пару — точкой числовой плоскости.

Теорема 1: Если непустое множество действительных чисел является ограниченным сверху (снизу), то оно имеет точную верхнюю (нижнюю) границу.

33³. Наибольший и наименьший элементы числового множества.

Пусть   и   - верхняя грань   Тогда   называется наибольшим или максимальным элементом множества 

Пусть   и   - нижняя грань   Тогда   называется наименьшим или минимальным элементом множества 

Наибольший и наименьший элемент множества, если они существуют, единственны.

34. Понятие предела числовой последовательности. Бесконечно малые числовые последовательности и их свойства. Свойства сходящихся последовательностей. Монотонные последовательности, теорема Вейерштрасса.

34¹. Понятие предела числовой последовательности.

Число a называется пределом последовательности { }, если такое, что и обозначается .

Геометрически это означает, что в любой -окрестности точки находятся все члены последовательности, начиная с некоторого номера (зависящего, вообще говоря, от ).

Последовательность, имеющая конечный предел, называется сходящейся, а последовательность, не имеющая предела – расходящейся.

Расходящимися, например, являются последовательности , .

Постоянная последовательность , имеет предел, равный числу c. Действительно, для при всех натуральных n выполняется .

34². Бесконечно малые числовые последовательности и их свойства.

Последовательность называется бесконечно малой, если ее предел равен нулю. Бесконечно малыми, например, являются последовательности .

Рассмотрим основные свойства бесконечно малых последовательностей.

1. Сумма конечного числа бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.

2. Бесконечно малая последовательность ограничена.

3. Произведение бесконечно малой последовательности и ограниченной последовательности есть бесконечно малая последовательность.

4. Произведение нескольких бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.

34³. Свойства сходящихся последовательностей.

1. Для того, чтобы число а было пределом последовательности , необходимо и достаточно, чтобы имело вид , где – бесконечно малая последовательность.

2. Сходящаяся последовательность имеет только один предел.

3. Сходящаяся последовательность ограничена.

4. Пусть и , где и  конечные числа.

Тогда: а) ;

б) ;

в) (при условии, что ).

34⁴. Монотонные последовательности, теорема Вейерштрасса.

Последовательность называется возрастающей (неубывающей), если для любого n выполняется неравенство ( ). Аналогично определяется убывающая (невозрастающая) последовательность. Возрастающая и убывающая (неубывающая и невозрастающая) последовательности называются монотонными последовательностями. Последовательности { }, { } и { } – монотонные, а { } – не монотонная (см. п.1.1⁰). Отметим, что члены последовательности { } с увеличением неограниченно приближаются к числу 1. В этом случае говорят, что последовательность { }, , стремится к пределу 1.

Теорема 1 (Вейерштрасса). Всякая монотонная ограниченная последовательность имеет предел