31. Операции над комплексными числами. Формула Муавра. Сопряженные числа.

31¹. Операции над комплексными числами.

Сумма и произведение комплексных чисел и обозначаются соответственно , и определяются формулами

, (1)

. (2)

Операции сложения и умножения комплексных чисел обладают свойствами:

1. – коммутативность;

2. – ассоциативность;

3. – дистрибутивность.

32². Формула Муавра.

Пусть дано комплексное число . Требуется найти . Тогда по формуле (4.5) при имеем

. (1)

Формула (1) называется формулой Муавра. Из нее следует, что для возведения комплексного числа в степень с натуральным показателем нужно возвести в эту степень его модуль, а аргумент умножить на показатель степени.

33³. Сопряженные числа.

Комплексное число называют сопряженным комплексному числу (комплексно-сопряженным) и обозначают , т.е. . В таком случае формула (4) вычисления частного комплексных чисел может быть записана в виде

. (5)

Таким образом, чтобы разделить комплексное число на достаточно числитель и знаменатель дроби умножить на число, сопряженное со знаменателем.

32. Алгебраические многочлены. Теорема Безу. Разложение многочлена на множители.

32¹. Алгебраические многочлены. Теорема Безу.

Многочленом или полиномом n-й степени будем называть сумму , где коэффициенты , есть комплексные числа и переменная z принимает значения из множества . В частности, как , так и z могут быть действительными. Коэффициент называется свободным членом.

Таким образом,

. (1)

Число называется нулем или корнем многочлена , если .

Разделить многочлен на двучлен , где а есть заданное число, значит представить его в виде

, (2)

где есть многочлен степени , а r называют остатком от деления многочлена на . При этом допускают, что равенство (2) выполняетcя для всех значений (или ). Если , то говорят, что многочлен делится на .

Коэффициенты многочлена и остаток r можно высчитывать согласно рекуррентным формулам

.

При вычислениях используют таблицу

Верхняя строка этой таблицы задана, а нижняя постепенно заполняется согласно с заданными выше формулами. Такой способ нахождения некоторого частного и остатка при делении многочлена на двучлен называют схемой Горнера.

Теорема 1 (Безу). Число является корнем многочлена тогда и только тогда, когда делится без остатка на , т.е. если

, (4)

где – многочлен степени .

Доказательство. Необходимость. Пусть – корень многочлена , т. е. . Согласно равенству (2) при имеем . Таким образом, , что означает делимость многочлена на .

Достаточность. Если многочлен делится на , то это означает справедливость равенства (4), откуда следует, что . Таким образом, есть корень многочлена . □

Ответ на вопрос о существовании корня многочлена дает следующая теорема.

Теорема 2 (основная теорема алгебры). Всякий многочлен положительной степени имеет хотя бы один корень (действительный или комплексный).

32². Разложение многочлена на множители.

1⁰. Число называется корнем многочлена кратности k, если можно представить в виде

. (1)

Другими словами, если делится без остатка на и не делится на , то k называется кратностью корня .

Если, в свою очередь, число является корнем многочлена кратности , то , где . Продолжая этот процесс, через конечное число шагов m получим многочлен нулевой степени , причем .

Таким образом, если – корни многочлена кратности , соответственно, причем , то имеет место следующее разложение многочлена на множители

, (2)

т.е. всякий многочлен n-й степени раскладывается на n линейных множителей типа и числовой множитель, равный коэффициенту при .

Пусть есть действительный корень кратности k многочлена с действительными коэффициентами. Тогда этот многочлен можно записать в виде (1).

Пусть теперь , есть комплексный корень многочлена , тогда и число также будет корнем этого многочлена. Действительно, используя свойства комплексно-сопряженных чисел, получим

.

Отсюда, если , то , т. е. – корень многочлена .

Следовательно, в разложении многочлена на множители будет присутствовать произведение .

Отсюда следует, если – корень кратности k, то и − корень кратности k. Другими словами, многочлен в этом случае можно представить в виде

. (3)

Имеем

,

где , – действительные числа.

Легко видеть, что трехчлен имеет дискриминант .

Таким образом, если – комплексный корень трехчлена , то дискриминант . Справедливо и обратное: если , то трехчлен имеет комплексно-сопряженные корни:

.

Из вышеизложенного вытекает: если и − комплексно-сопряженные корни многочлена кратности k, то, в силу представления (3), имеет место разложение

, (3^/)

где – действительные числа, , а для многочлена с действительными коэффициентами числа , не являются его корнями, т.е. , .

Пусть – все действительные корни многочлена , а их кратности соответственно равны , где . Тогда многочлен , согласно формуле (1), можно представить в виде , где – многочлен степени с действительными коэффициентами,

который не имеет действительных корней.

Если – многочлен ненулевой степени, то каждой паре комплексно-сопряженных корней кратности соответствует множитель из формулы (3^/), где . С учетом этого обстоятельства получим

(4)

где .

Таким образом, зная все корни многочлена с действительными коэффициентами, можно его разложить на множители с действительными коэффициентами, это значит представить в виде (4), где числа – действительные.

2⁰. Тождественность двух многочленов. Выясним условие, при котором два многочлена тождественны. Перейдем здесь от обозначения переменной z к x, подчеркивая тем самым, что все дальнейшие рассмотрения будут проводиться в области действительных чисел.

Утверждение 1. Многочлен равен нулю тогда и только тогда, когда все его коэффициенты равны нулю.

Доказательство. Действительно, согласно формуле (2), многочлен -ой степени можно представить в виде

(2΄)

где – корни этого многочлена, среди которых могут быть и равные.

Из разложения (2΄) следует, что многочлен -ой степени не может иметь более чем корней с учетом их кратности. Если же он обращается в нуль при различных значениях то этот многочлен тождественно равен нулю. В самом деле, т.к. но ни один из его линейных множителей в (2΄) не равен нулю, следует, что , а значит, согласно той же формуле (2), тождественно равен нулю.

Обратно, если многочлен тождественно равен нулю, то он равен нулю и при некотором значении переменной , которое не совпадает с . В таком случае ни один из множителей не равен нулю, а поэтому Повторяя рассуждения для многочлена уже с высшим коэффициентом аналогично показываем, что Таким же образом доказывается ☐

Утверждение 2. Два многочлена и тождественно равны друг другу тогда и только тогда, когда у них совпадают коэффициенты при одинаковых степенях .

Доказательство. Это утверждение следует из того, что разность данных многочленов есть многочлен, тождественно равный нулю. Тогда, на основании утверждения 1, все его коэффициенты равны нулю. ☐