30. Понятие комплексного числа. Алгебраическая, тригонометрическая и показательная формы комплексного числа.

30¹. Понятие комплексного числа.

Комплексным числом z называется упорядоченная пара действительных чисел , которая записывается в виде . Любое действительное число, согласно этому определению, можно записать .

Два комплексных числа называются равными, если .

30². Алгебраическая, тригонометрическая и показательная формы комплексного числа.

1. Алгебраическая форма комплексного числа.

Среди комплексных чисел особое место занимает число , которое называют мнимой единицей и обозначают через i: .

Согласно формуле (1.2) имеем , т.е. .

С помощью формул (1.1) и (1.2) получим:

.

Т.е. каждое комплексное число можно записать в виде

, (1)

называемом алгебраической формой. При этом число x называют действительной частью комплексного числа z и обозначают , а число y – мнимой частью и обозначают .

Если , то комплексное число называют мнимым числом.

Сложение и умножение комплексных чисел в алгебраической форме выполняются по правилам действий с многочленами, заменяя на . Например, равенство (1.2) можно получить так:

Множество комплексных чисел обозначают буквой . Числа и на множестве имеют те же самые свойства, что и на множестве :

, , .

На множестве вычитание вводится как операция, обратная сложению. Для каждой пары комплексных чисел и существует, и при том только одно, комплексное число z, такое, что

. (2)

Действительно, из равенства (2), согласно правилу равенства и определению (1.1) суммы комплексных чисел, следует . В частности, разность обозначают – z.

Деление на множестве вводится как операция, обратная умножению, а частным от деления комплексного числа на число называют такое число z, что имеет место равенство

, (3)

и обозначают или .

2. тригонометрическая и показательная формы комплексного числа.

Пусть есть модуль комплексного числа z, а – угол между положительным направлением действительной оси и вектором z, который отсчитывается от положительного направления действительной оси (рис.3. 1). Этот угол называют аргументом комплексного числа и обозначают .

Для числа аргумент не определяется, поэтому далее, при использовании , будем считать, что .

Очевидно (рис. 3.1), что

, . (1)

Отсюда следует, что всякое комплексное число представляется в виде

. (2)

Запись комплексного числа в виде (2) называют тригонометрической формой комплексного числа.

Из формул (3.1) и (1), учитывая, что , находим:

, . (3)

Система (3) имеет бесконечно много решений вида , где .

*****

Пусть имеем

. (7)

Определим показательную функцию с помощью формулы Эйлера

. (8)

Тогда (7) примет вид

. (9)

Форма (9) называется показательной формой комплексного числа.

С помощью формулы (9) легко получаем правила умножения и деления комплексных чисел в показательной форме

, .

Это множество обозначается , при этом – значение аргумента комплексного числа, которое принадлежит полуинтервалу , называется главным значением и обозначается .

Используя (3), получим . Тогда , где при при и при .