11.Поняття про стабільність лінійних систем.
Під стійкістю лінійної системи розуміють властивість загасання перехідного процесу з часом, інакше кажучи, – наступна властивість власного (вільного) руху системи:
при 
.
Ця
умова буде виконуватися тоді і тільки
тоді, коли всі корені 
характеристичного
рівняння
мають від’ємні дійсні частини.
Якщо
ж хоча б один дійсний корінь 
характеристичного
рівняння буде додатнім чи якщо хоча б
одна пара комплексних коренів буде
мати додатну дійсну частину, то перехідний
процес буде розбіжним
Якщо
в характеристичному рівнянні системи
є хоча б один нульовий корінь 
чи
хоча б одна пара чисто уявних коренів 
,
а всі інші корені мають від’ємні дійсні
частини, то будемо говорити, що система
знаходиться на границі
стійкості. Це
випливає з того, що нульовий корінь
можна розглядати як границю між
від’ємним і додатнім,
а чисто уявний корінь - як границюміж
комплексними коренями з від’ємною і
додатною дійсними
частинами. Поводженням системи
на границі стійкості цікавитися
небудемо, тому що працездатна система
автоматичного регулювання повинна
бути стійкою з запасом і не наближатися
до цієї границі.
Умова
стійкості лінійної системи виражається
у тім, що всі корені характеристичного
рівняння
повинні
розташовуватися в лівій півплощині
комплексної змінної р. Уявна
вісь 
площини
коренів служить границею стійкості.
Можна виділити два типи границь стійкості лінійної системи, що характеризуються відповідно:
1) нульовим
коренем 
;
2) парою
чисто уявних
коренів 
;
У першому випадку границя стійкості називається аперіодичною, а в другому випадку — коливальною.
13.Розв’язування диференційних рівнянь макроекономічної динаміки.
14.Які типи катастроф існують у двовимірному випадку?
Катастофа складки
Найпростіша катастрофа виникає при потенціалі в формі
тоді,
коли параметр 
змінює
свій знак.
При 
динамічна
система з таким потенціалом не має
особливих точок і її рух інфінітний.
При будь-яких початкових умовах змінна
X, яка описується динамічним
рівнням: 
зменшуватиметься
з часом до мінус нескінченності.
У
випадку 
поведінка
системи залежатиме від початкових
умов. Якщо в початковий момент часу
змінна X була меншою за 
,
тоді вона й надалі зменшуватиметься з
часом до нескінченності. Якщо ж в
початковий момент часу змінна X була
більшою за
,
то з часом її значення прямуватиме до
точки 
,
яка є
атрактором для
системи.
Катастрофа
відбувається при зміні параметра
від
від'ємних значень до додатних для
системи, стан якої близький до точки 
.
При неперервній зміні параметра
,
як тільки він бодай трошки перевищить
нульове значення, рівноважний стан
системи перестає існувати і значення
змінної X «втікає» на мінус нескінченність.
Катастрофа зборки
Тривимірний графік залежності значення змінної в особливій точці від параметрів для цього типу катастрофи нагадує зборку (зморшку) на одязі, чому вона й завдячує назвою.
Потенціал V(X) для катастрофи зборки залежить від двох параметрів:
.
При такому потенціалі рух завжди фінітний, але кількість атракторів у залежності від значення параметрів може змінюватися від одного до двох.
При
додатних значеннях параметрів 
та 
система
завжди має єдину стійку особливу точку
X = 0. При від'ємних значеннях параметрів
існує область, в якій особливих точок
три. При цьому точка X = 0, втрачає
стабільність. Ця область параметрів
обмежена біфуркаційною
кривою.
Зміна стану системи, тобто катастрофа, відбувається тоді, коли значення параметрів перетинають цю криву.
Катастрофа ластівчин хвіст
В системах з однією змінною, але з трьома параметрами можлива ще складніша катастрофа, яка отримала назву ластівчиного хвоста. Потенціал для неї записується в формі
.
Інші катастрофи
Метелик
.
Гіперболічна омбіоліка
.
Еліптична омбіоліка
.
Параболічна омбіоліка
.