9.Моделі динаміки суспільного продукту і національного доходу.

Модель відтворення суспільного продукту і національного доходу: х - валовий суспільний продукт; у - національний дохід; а - матеріаломісткість валового суспільного продукту.Допускається, що експорт та імпорт дорівнюють один одному (зовнішньоторговельне сальдо дорівнює нулю), втрати включаються до використовуваний національний дохід. При цих умовах обсяги виробленого та використовуваного національного доходу рівні. Баланс виробництва та розподілу валового суспільного продукту для кожного моменту (проміжку) часу має вигляд x = ax + y (10.1) звідки  (10.2) Коефіцієнт - характеризує співвідношення валового суспільного продукту і національного доходу (або мультиплікатор валового суспільного продукту). Динаміка коефіцієнтів а і А може виражатися функціями часу а = a (t), A = A (t). З урахуванням динаміки матеріаломісткості виробництва співвідношення між валовим суспільним продуктом і використовуваним національним доходом приймає видx x(t)=A(t)y(t) (10.3)

Найпростіша модель. Найбільш проста модель відтворення національного доходу формулюється при використанні двох припущень: а) пропорційності виробничого накопичення приросту національного доходу в той же момент часу; б) незалежності (екзогенні) динаміки споживання:  (10.5) Зростання з постійною і монотонною змінною нормою накопичення. Постійна норма накопичення. При r = р0 перший доданок в (10.9) звертається в нуль. Темп приросту національного доходу дорівнює темпу приросту споживання:  (10.10)Економічний розвиток здійснюється з постійною нормою накопичення. Оскільки і , то еквівалентним є рішення в більш простому вигляді:  (10.11) Зменшувана норма накопичення. При r> перший доданок рішення (10.9) негативно, друге позитивно. При цьому перший доданок по абсолютній величині зростає швидше другого. Внаслідок цього темп приросту національного доходу падає, норма накопичення зменшується до нуля, а потім стає негативною. Подальше збільшення норма накопичення. При r< обидва доданків у вирішенні (10.9) позитивні, при цьому перший доданок зростає швидше другого. Тому темп приросту національного доходу безперервно збільшується від в початковий момент до в межі . Норма накопичення також безперервно збільшується.Модель із зосередженим лагом. Позначимо величину зосередженого лага . Тоді , а загальна модель відтворення національного доходу набуває вигляду  (10.12)Модель з розподіленим лагом. Виробниче нагромадження з розподіленим лагом визначається за формулою  ,де B(t, ) - витрати капітальних вкладень в момент t, необхідні для отримання одиниці приросту національного доходу в момент.

12.Які існують види фракталів?

Прийнято виділяти три види фракталів: геометричні, алгебраїчні й стохастичні. 1.Геометричні .Фрактали цього класу найбільш наочні. У двовимірному випадку їх отримують за допомогою деякої ламаної (або поверхні в тривимірному випадку), званої генератором. За один крок алгоритму кожен з відрізків, що складають ламану, замінюється на ламану-генератор, у відповідному масштабі. В результаті нескінченного повторення цієї процедури, виходить геометричний фрактал.

Один з таких фрактальних об'єктів - триадную криву Коха. Побудова кривої починається з відрізка одиничної довжини - це нульове покоління кривої Коха. Далі кожна ланка (в нульовому поколінні один відрізок) заміняється на утворюючий елемент. У результаті такої заміни виходить наступне покоління кривої Коха. Для отримання кожного наступного покоління всі ланки попереднього покоління необхідно замінити зменшеним утворюючим елементом. Крива n-го покоління при будь-якому кінцевому n називається предфракталом.

2) Алгебраїчні фрактали.

Це найбільша група фракталів. Отримують їх за допомогою нелінійних процесів в n-мірних просторах. Найбільш вивчені двовимірні процеси.

Якщо нелінійна динамічна система володіє декількома стійкими станами, то кожний стійкий стан володіє деякою областю початкових станів, з яких система обов'язково попаде в аналізовані кінцеві стани. Таким чином, фазовий простір системи розбивається на області тяжіння атракторів. Забарвлюючи області тяжіння різними кольорами, можна отримати колірний фазовий портрет цієї системи (ітераційного процесу). Міняючи алгоритм вибору кольору, можна отримати складні фрактальні картини з химерними кольоровими візерунками. Прикладом є множина Мандельброта.

3) Стохастичні фрактали.

Ще одним відомим класом фракталів є стохастичні фрактали, які виходять у тому випадку, якщо в ітераційнім процесі випадковим чином міняти якісь його параметри. При цьому виходять об'єкти дуже схожі на природні - несиметричні дерева, порізані берегові лінії і т. д. Двовимірні стохастичні фрактали використовуються при моделюванні рельєфу місцевості і поверхні моря.