41.Які виділяються види диференціальних рівнянь 1-го порядку?

Рівняння вигляду   (1) називається звичайним диференціальним рівнянням, де F - відома функція; х - незалежна змінна; y(x) - шукана функція.

          Найбільший порядок похідної функції y(x), яка входить до рівняння, називається порядком диференціального рівняння. Наприклад,

 - рівняння I-го порядку

Рівняння І-го порядку має вигляд:    

Розв’язком диференціального рівняння (2) або (3) на інтервалі   називається неперервно диференційована функція  , яка перетворює це рівняння в тотожність на  , тобто

  

Звичайні диференціальні рівняння першого порядку.

Рівняння вигляду    (1) або    (2) називається рівнянням з відокремлюваними змінними. Поділивши обидві частини рівняння (1) на  , запишемо його у вигляді  , де  .Якщо  , то функція   є розв’язком рівняння (1). Рівняння виду   заміною   зводиться до рівняння з відокремлюваними змінними. 

Однорідні диференціальні

Функція   називається однорідною степеня  , якщо для всіх   виконується рівність  Диференціальне рівняння виду   (1) називається однорідним, якщо функція   - однорідна функція степеня нуль.Будь-яке однорідне рівняння можна привести до вигляду  . Заміна   приводить однорідне рівняння (1) до рівняння з відокремлюваними змінними  .Диференціальне рівняння виду   (2) буде однорідним, якщо функції   і   - однорідні функції однакового ступеня.

Лінійні однорідні рівняння I-го порядку

Лінійним однорідним рівнянням називається рівняння вигляду  ,   Поділивши на  , одержимо:  . Функція   є розв’язком цього рівняння. У такому рівнянні змінні відокремлюються:  . Проінтегруємо:

;    ;

Об’єднавши розв’язки отримаємо загальний розв’язок рівняння 

Рівняння в повних диференціалах 

Рівняння виду   (1) називається рівнянням в повних диференціалах, якщо його ліва частина є повним диференціалом деякої функції  , тобто

.  (2)Звідси видно, що всі розв’язки рівняння (1) задовольняють умову  , де  довільна стала.

Для того, щоб рівняння (1) було рівнянням в повних диференціалах, необхідно і достатньо, щоб  .

Уравнения не разрешенные относительно производной

Общий вид : F(x,y,y')=0,

1. Случай, когда из уравнения F(x,y,y')=0 можно выразить y' через x, y.

2. Случай, когда уравнение F(x,y,y')=0 можно разрешить относительно у (простейший вариант метода введения параметра).

3. Случай, когда уравнение F(x,y,y')=0 можно разрешить относительно х.

4. Уравнение Лагранжа y=xφ(y')+ψ(y'). Уравнение Клеро y=xy'+ψ(y')

44.B чому суть моделі, запропонованої в. С. Михалевичем?

Предметом постійної уваги В.С. Михалевича були дослідження в галузі економіко-математичного моделювання. Особливо відчутною стала потреба розробки економіко-математичних моделей на новому етапі, коли Україна почала опановувати механізми ринкової економіки. Під його керівництвом розроблялися математичні моделі процесів, що відбувалися в економіці перехідного періоду, розвивались інформаційні технології для підтримки прийняття рішень, створювалися програмно-технічні комплекси для практичної реалізації запропонованих моделей. Передусім були побудовані й досліджені принципово нові балансові моделі, в яких враховано органічно притаманну перехідній економіці нестабільність цін, що супроводжується такими негативними процесами в галузі фінансів, як інфляція, зростання неплатежів, грошовий дефіцит.

Для аналізу процесів перехідної економіки розглядалися динамічні моделі у вигляді систем лінійних диференціальних рівнянь, що, як правило, не можуть бути розв’язані в аналітичному вигляді. Проте застосування методів якісного аналізу, декомпозиції, певних аналітичних перетворень і чисельних експериментів дало можливість зробити деякі висновки про розв’язки таких рівнянь. На основі проведених досліджень були проаналізовані інфляційні ситуації: інфляційна криза попиту та структурна інфляційна криза. Порівняльний аналіз підтвердив адекватність запропонованих моделей реальним процесам.

Суттєва і безпосередня роль В.С. Михалевича як наукового керівника значних науково-технічних проектів на галузевому, і навіть на міжгалузевому, рівні виявилась також в численних розробках систем спеціального призначення, що здійснювались в часи СРСР як в самому Інституті кібернетики, так і в його конструкторсько-технологічних підрозділах.