22.Що затверджує теорема Ляпунова про стійкість?

Нехай є лінійна система, яка описується рівняннями динаміки:

.

Теорема Ляпунова про стійкість. Якщо для цієї системи рівнянь  існує знаковизначена функція V(Y), похідна якої   є знакопостійною функцією протилежного знака, то рішення системи  стійке. Теорема Ляпунова про асимптотичну стійкість. Якщо для системи рівнянь існує знаковизначена функція V(y), похідна якої  є знаковизначеною функцією, але протилежного знака, то рішення системи буде стійким асимптотично. Теорема Ляпунова про нестійкість. Якщо для системи рівнянь існує яка-небудь функція  V(y), похідна якої   є знаковизначеною функцією, причому в будь-якому як завгодно малому околі початку координат є область, у якій знак V(y) збігається зі знаком F(y)  рішення системи   нестійке. Теореми Ляпунова дають достатні умови стійкості (нестійкості) рішення   нелінійної системи. Це означає, що якщо умови теорем задовольняються, то система стійка (нестійка). Але це не означає, що система не може бути стійкою (нестійкою) і за межами цих умов. Наскільки повно умови теореми охоплюють дійсну область стійкості системи, залежить від вибору функції Ляпунова V(y).

23.Які методи застосовуються для виявлення хаотичного поводження?

Траєкторії, які граничать з нестійкою періодичною траєкторією, розходяться від неї і є нестійкими. Із-за нестійкості динамічної системи їх нелегко виявити. У економіці є численні роботи відносно виявлення складної та хаотичної поведінки. Стандартні метричні методи, наприклад, спектральний аналіз або функції автокореляції не можуть розрізнити, цих методів недостатньо, щоб забезпечувати надійні результати. Фактично, тест виміру кореляції, метричний підхід широко використовується в природних науках, але його використання у економічних даних було би проблематичним. Такі моделі зашумлені даними. Щоб уникнути цих труднощів метричного підходу, був розроблений метод виявлення детермінованого хаосу, названий топологічним. Він має такі переваги: - може застосуються до невеликих наборів даних - стійкий до шуму - забезпечує додаткову інформацію про основну систему - можлива реконструкція дивного аттрактора. Аналіз повторень може представити корисну методологію виявлення повернень (циклів) в дослідженні хаотичних систем. За допомогою графіку повторень можливо виявити кореляцію в даних, яку неможливо знайти в початковому тимчасовому ряду. Це - двовимірне представлення траєкторії системи. Для виявлення нестійкої і хаотичної поведінки використовується теорія Флоке, що розширює теорії стійкості Ляпунова. Стійкість системи визначається власними векторами матриці переходу, якщо більша частина усіх множників Флоке негативна, рішення стійке, тоді як позитивні показники вказують на нестабільність.

20.B чому відмінність поняття стійкості для стохастичних систем?

Детерміністична теорія стійкості являє собою один з розділів якісної теорії динамічних систем. Більшість результатів стосується певних якісних або кількісних (але не пов'язаних з дійсним обчисленням рішень) властивостей диференціальних рівнянь.

Завдання стохастичної стійкості виникають в теорії управління при розгляді систем, на які впливають зовнішні неконтрольовані, випадкові дії. Якщо при цьому відома бажана область роботи системи, то завдання оцінки ймовірності знаходження в цій галузі є вельми практичними.

Розглянемо суворо марківський процес xt, з невипадковим початковою умовою х0 з непорожньої відкритої множини R, що містить початок координат. Нехай Р - деяка множина, що містить R. Тоді виникає кілька завдань:

(1) чи існує така множина R, що для деяких заданих ρ і Р для будь-якого має місце нерівність:

(2) У розвиток задачі (1): чи можна для кожних фіксованих Р і ρ <1 знайти відповідне R?

(3) Знайти оцінку найбільшої множини R при фіксованих Р і ρ з задачі (1).

(4) Задача рівномірної обмеженості: яке значення

якщо P - задане обмежена множина?

(5) Визначити найменшу множину, що містить всі межі з імовірністю 1 процесу

(6) Завдання на момент першого виходу: оцінити ймовірність

(7) Чи існує кінцевий марківський момент часу τ, такий, що

(8) Нехай , де ρ- деякий марківський процес. Чи утворює пара (x_t, p_t) поворотний процес, тобто такий, у якого ймовірність виходу з довільної області дорівнює 1?

Розглянемо наступні визначення.

Визначення 1. Стан х = 0 називається стійким з імовірністю 1, тоді і тільки тоді, коли для будь-яких ρ> 0 і ε>0 існує таке δ (ρ,ε)> 0, що

Визначення 2. Система називається стійкою по відношенню до трійці (Q, Р, ρ), тоді і тільки тоді, коли

Визначення 3. Стан х = 0 в просторі станів називається асимптотично стійким з імовірністю 1 в тому і тільки тому випадку, коли воно є стійким з імовірністю 1 і, крім того, x_t → 0 для всіх х0 з деякою околиці R цієї точки. Якщо ж R є весь простір, то стан асимптотично стійкий у великому.

Визначення 4. При заданому стані х процес x_t називається рівномірно обмеженим величиною ε з імовірністю ρ у тому випадку, якщо

Визначення 5. Стан х = 0 в просторі станів називається експоненціально стійким з імовірністю 1 в тому і тільки тому випадку, коли воно стійко з імовірністю 1 і при всіх Т <∞

де К <∞,а> 0.

Визначення 6. Стан х = 0 в просторі станів називається нестійким з імовірністю ρ у тому і тільки тому випадку, коли

Визначення 7. Процес називається фінально обмеженим з імовірністю 1 величиною m в тому випадку, коли для кожного х з Е існує таке кінцеве (з ймовірністю 1) випадкове час τ(х),що

або

Визначення 8. Позначимо через x_t і x’t процеси, відповідні початковим умовам х0 і х'0. Процес називається рівно обмеженим з імовірністю 1 в тому випадку, якщо при фіксованій нормі різниці

рівномірно по х, х '.

Визначення 9. Процес називається рівномірно стійким з імовірністю 1 - в тому випадку, якщо він задовольняє визначенню 8 і для будь-якого фіксованого ε> 0

рівномірно по х, х '.