Практичне заняття №8 Тема: Лінійний нормований простір зі скалярним добутком. Лінійні оператори.

Основні відомості:

1. Означення скалярного добутку.

2. Означення та властивості лінійного, полілінійного операторів. Обмеженого оператора.

Задачі

Нехай Х – лінійний простір зі скалярним добутком.

1. Довести властивості скалярного добутку:

1.

2.

1.2. Довести нерівність Коші-Буняковського

1.3. Довести нерівність трикутника

для норми асоційованої зі скалярним добутком .

1.4. Нехай Х скінчено вимірний лінійний простір зі скалярним добутком. Довести, що існує ортонормований базис у Х. Якщо ортонормований базис, то .

2.1. Нехай , а . Довести, що оператор - лінійний оператор з .

2.2. Якщо , то загальний лінійний оператор визначається матрицею. Довести.

2.3. Якщо з нормою . Довести, що , де А – лінійний оператор з , а - відповідна матриця.

2.4. Нехай (оператор добутку на функцію ) - неперервна функція. Довести лінійність А та .

Задачі для самостійного розв’язку.

Нехай Х- лінійний простір зі скалярним добутком.

1. Два вектори ортогональні, якщо . Довести, що якщо ортогональні, то (теорема Піфагора)

2. Показати, що знак рівності в нерівності Коші-Буняковського має місце тоді і тільки тоді, коли .

3. Довести, що виконується рівність паралелограма .

4. Довести формулу

, для

5. Обчислити норму оператора , якщо з нормами:

а).

б).

в).

6. Довести, що оператор - неперервний, де , а .

7. Якщо , то та .

8. Нехай .Довести, що .

Лекція №4 Похідна у напрямку. Частинні похідні. Повна похідна.

1. Похідна у напрямку.

Розглянемо , F – нормований простір, для можна надати змісту формі , де границя у розумінні нормованого простору F.

Якщо покласти , то отримаємо звичайну похідну дійсної функції дійсної змінної.

Якщо F скінчено вимірний, то у ньому можна вибрати систему координат, тоді – базис, , при цьому .

Приклад.

.

Теорема. Для того, щоб функція із значеннями у скінчено вимірному нормованому просторі була диференційована, необхідно і достатньо, щоб її компоненти у деякій системі координат були скалярними диференційованими функціями. Компоненти похідної – похідні відповідних компонент.

Нехай , де – нормовані простори. Говорити про похідну у попередньому розумінні немає можливості. Тому розглянемо поняття частинної похідної вздовж вектора .

Означення. Нехай . Похідною функції f в х вздовж вектора називається похідна, якщо вона існує, функції при , .

Якщо і , то похідна вздовж е є звичайною похідною у розумінні першого означення .

Якщо існує для усіх х, то можна розглядати функцію .

Якщо Y – скінчено вимірний і – базис в Y, то має місце формула . З означення похідної у напрямку .

Припустимо, що Х – скінчено вимірний і – базис в Х. Тоді похідні у напрямку векторів зазвичай називають частинними похідними f, тобто .

Приклад.

.

Якщо Х і Y – скінчено вимірні з системами координат і , то отримаємо .

Нижче матрицю будемо називати матрицею Якобі f у точці х.

Якщо , то визначник матриці називається визначником Якобі (Якобіан) і позначається .

При він спрощується до звичайної похідної.

Приклади.

1. .

2.

Матриця Якобі .