Практичне заняття №4 Тема: Формула Тейлора. Обчислення границь за допомогою формули Тейлора.

Основні відомості:

1. Фрмула Тейлора.

2. Остаточний член формули Тейлора в формі Лагранжа.

3. Розклад основних елементарних функцій.

Задачі:

Використовуючи розклад основних елементарних функцій розкласти функції в ряд Маклорена до :

1. 

2. 

Вказівка: Використовувати .

3. 

Використовуючи метод неозначених коефіцієнтів розкласти функції виду та :

1. Розкласти до методом неозначених коефіцієнтів.

2. розкласти до .

3. Розкласти до .

Вказівка: Використати розклад .

Обчислити границі:

1. 

2. 

3. 

Завдання для самостійної роботи.

Розкласти в ряд Маклорена до :

1. .

2. .

3. .

4. .

5. .

6. .

7. 

8. 

9. 

10. 

11. 

12. 

13. 

Вказівка: В задачах 12,13 записати функції у вигляді комбінації елементарних функцій.

14. розкласти до

15. 

16. розкласти до

17. розкласти до

18. розкласти до

19. розкласти до

20. розкласти до

21. 

22. 

23. 

24. 

25. 

Лекція №2 Дослідження на монотонність та екстремуми. Випуклі функції. Правило Лопіталя.

1. Дослідження монотонності.

Наступна теорема легко доводиться за допомогою теореми Лагранжа та означення монотонності (див.[1,2] або доведіть самостійно).

Теорема. Нехай функція і один раз диференційована на інтервалі .

Тоді:

1. не спадаюча на .

2. не зростаюча на .

3. строго зростає на .

4. строго спадає на .

2. Необхідна і достатня умова локального екстремуму.

Означення. Нехай і Е область визначення, тоді називається локальним максимумом (мінімумом), якщо - окіл такий, що

.

Теорема Ферма. (необхідна умова екстремуму)

Якщо екстремальна точка функції і , а диференційована в , то .

Доведення. аналогічне доведенню теореми Роля, якщо .

Теорема. (достатня умова екстремуму).

Нехай функція неперервна і диференційована на , тоді:

1. - локальний максимум.

2. - локальний мінімум.

3. - не екстремальна точка.

Доведемо випадок 1. Оскільки , то таких, що маємо .

Перейдемо в нерівності до границі при , тоді оскільки неперервна ) . Аналогічно . Таким чином, означення локального максимуму в точці с виконано (окіл ).

Випадки 2 і 3 доведіть самостійно аналогічно доведенню випадку 1.

Приклад. Застосовуючи останню теорему доведіть закон переломлення світла.

3. Опуклі функції.

Означення. Функція називається опуклою вниз на якщо і виконується нерівність

.

Означення. Функція називається опуклою вгору на якщо і виконується нерівність

.

Перефразуємо означення.

,

Тоді нерівність із першого означення набуде вигляду:

або .

Отже, функція на буде опуклою вниз (вгору), якщо .

,

( , )

Необхідна і достатня умова опуклості.

Теорема. Для того, щоб диференційована на інтервалі функція була опуклою вниз (вгору) необхідно і достатньо, щоб її похідна була зростаючою (спадаючою).

Доведення

Необхідність. Нехай опукла вниз на , тоді для таких, що і

.

Переходячи до границі в нерівності при і будемо мати

Достатність. та за теоремою Лагранжа маємо

1.

2. . Отже, із зростання ,

означення опуклості вниз виконується.

Опуклість вгору доводиться аналогічно.

Наслідок.

Для того, щоб функція двічі диференційована на була опуклою вниз (вгору) необхідно і достатньо, щоб .

Теорема. (нерівність Йенсена).

Якщо функція опукла вниз, і , то .

Доведіть самостійно за допомогою математичної індукції.

Приклад. , опукла вниз, отже

.

Покладемо .

Підставляючи, отримаємо нерівність Гельдера:

або

Нерівність Коші. Для будь-яких

Доведення.

Ця нерівність показує, що нерівність трикутника в звичайній метриці в виконується.